分散運算計劃發現已知最大質數 長達2233萬位 數學家獲3000美元獎金

分散運算計劃發現已知最大質數 長達2233萬位 數學家獲3000美元獎金
Photo Credit: Dustin Liebenow, CC BY-ND 2.0

我們想讓你知道的是

專門搜尋巨大質數的計劃GIMPS宣佈,最近找到目前已知最大的質數,長達2233個位。這項計劃讓用戶貢獻電腦的運算能力,只需要下載一個軟件便能參與尋找大型質數。

質數,又名素數,是指那些只有2個因數——1及自身——的數字,例如2, 3, 5, 7, 11…等。古希臘的數學家視質數為數字的基石,因為其他數字(稱為合成數)都是由質數相乘得出,例如12=2×2×3、15=3×5、42=2×3×7等。

數學家早就知道質數有無限個︰無論你寫下多大的質數,總會有一個更大的質數在後面。證明最早出現在公元前300年,希臘數學家歐幾里得(Euclid)所寫的《幾何原本》中。

2233萬個位的質數

那麼目前人類已知最大的質數是多少?1月7日,專門搜尋巨大質數的計劃GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search)宣佈,中央密蘇里州立大學數學系教授古柏(Curtis Cooper)博士(的電腦)於去年9月17日找到目前最大的質數︰274,207,281-1,即是2×2×2×…乘上超過7420萬次,再減去1。

這個數字非常之大,寫出來的話總共超過2233萬個位,比起此前的紀錄要多近500萬個位。(讀者可以按這裏下載記錄了這個質數的文件壓縮檔。)列印出來的話,就算每個數目只有1mm闊,整串數字也會長達22公里。

由於用人手基本上無法驗證,GIMPS要找兩部使用不同硬件的電腦(分別用了NVidia及AMD的顯示卡),各以不同程式去確認這個數字是質數。古柏因為這個發現而得到3000美元獎金,這是他第4次發當時已知最大質數——目前第2大的已知質數也是由他在3年前的1月發現。

集腋成裘找質數

GIMPS負責搜尋一種特定的質數,稱為梅森質數(Mersenne Prime),以17世紀修士梅森命名。梅森質數能夠寫成2p-1的形式,當中的p必須是一個質數。目前人類知道的梅森質數極少,僅得49個,數學家仍然不知道到底是否有無限個梅森質數。一起搜索這些大質數,或會有助數學家了解其分佈。

自1996年起,所有新發現的梅森質數,都是透過GIMPS提供的Prime95軟件(Linux上的版本稱為MPrime)找到。這個軟件正如GIMPS計劃的名稱,利用了互聯網的力量,讓所有下載了這個軟件的用家都能讓電腦在空閒時去計算、尋找新一個梅森質數,為數學發展貢獻一下運算能力。

GIMPS剛踏進第20周年,目前有超過14萬5千名用戶參與,近120萬顆CPU在運行其軟件。

質數為何重要?

那麼為甚麼會有人對質數有興趣呢?數學界歷史最悠久的一個領域——數論(Number thoery,就是研究數字的理論),其中一項重要主題是研究質數的特性。很多數論上懸而未決的問題也跟質數有關,最著名的包括孿生質數問題——「是否有無限對相差2(例如3及5、11及13、41及43等)的質數?」以及哥德巴哈猜想(Goldbach’s conjecture)——「任何大於2的數字均可寫成兩個質數之和」。

2年前還是藉藉無名的數學家張益唐,就是為解決孿生質數問題打開一個重要缺口而聲名大噪。當今數學界最重要的其中一位數學家陶哲軒,就曾經指很多跟質數有關的問題之所以難以解決,是因為數學家相信質數不遵循任何簡單規則,像隨機分佈一般。

為滿足好奇心及出於知性上的追求,數學家前仆後繼去挑戰關於質數的難題,希望能夠更了解質數的特性。而解決這些難題的過程,也有助促進數學發展。而即使20世紀初英國重要的數論專家哈代(G. H. Hardy)以數論的「無用」自豪,數論現時在加密技術上佔一重要席位。

如何下載及參與?

就算你對數學沒有興趣,假如電腦有幸找到一個新質數的話,也許能夠像古柏一樣獲得3000美元獎金。如果你找到首個長度達1億位的質數,GIMPS將會獲得電子前線基金會(EFF)的合作運算獎,獎金高達15萬美元。GIMPS在網頁上清楚寫明,發現者可以分得5萬美元,然後GIMPS會捐5萬予跟數學有關的慈善團體,另外5萬元則用作GIMPS的開支及獎金。

有興趣參與計劃,為數學發展出一分力的讀者,可以到GIMPS的網站下載軟件。不過使用英特爾最新一代處理器(架構代號為Skylake)的話就需要小心,GIMPS早前發現這款處理器上有個錯誤,使得運行極複雜的計算時會令系統凍結。