曾花7年破解世紀難題 牛津教授獲「數學界諾貝爾獎」

曾花7年破解世紀難題 牛津教授獲「數學界諾貝爾獎」
Photo Credit: Charles Rex Arbogast / AP Photo / 達志影像

我們想讓你知道的是

數學家懷爾斯曾用7年時間證明350年來無人攻克的「費馬最後定理」,獲頒發數學界其中一項最高殊榮——阿貝爾獎,以表揚其工作對數學界的貢獻。

諾貝爾獎中並不包括數學獎,但數學界有兩個大獎普遍被視為「數學界諾貝爾獎」,分別是每4年頒發一次,只授予40歲以下數學家的菲爾茲獎(Fields Medal)以及每年頒發的阿貝爾獎(Abel Prize)。

今年阿貝爾獎得主,是曾經花7年時間證明費馬最後定理的懷爾斯(Andrew Wiles)。在懷爾斯於1994年交出完整證明前,數學家已花費近360年嘗試證明該定理。雖然證明本身非常複雜,甚至被數學家康威(John Conway)稱作「世紀證明」,但定理的內容卻是小學生也能明白。

事實上,懷爾斯第一次接觸費馬最後定理時才不過10歲。當時他在放學回家的路上進了圖書館,然後讀到一本提及該定理的書,並驚訝那麼容易明白的猜想卻未有人能夠證明。當時他立志要證明費馬最後定理,後來發現自己知識有限後放棄,直至他33歲。

無人見過的「絕妙證明」

相信讀者都曾經在中學見過畢氏定理(古代中國稱為勾股定理)︰

假如一個直角三角形的邊長為a, b, c,則a2+b2=c2

在古代,巴比倫、希臘、中國及印度的數學家都發現,符合畢氏定理的整數有無限組,例如 (3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)……這代表我們能夠畫製無限多個邊長為整數的直角三角形。

1637年當數學家費馬(Pierre de Fermat)閱讀古希臘數學家丟番圖(Diophantus of Alexandria)的《算術》時,剛好讀到丟番圖解說如何把一個平方數寫成兩個有理數之和(有理數是指可以寫成分數的數字),書中例子是把16 (=42)分拆成(16/5)2+(12/5)2

費馬認為,對於任何立方數、4次方以至更高的次方,都不可能類似地分拆。以符號來說,就是對於任何大過2的整數n,我們均無法找到整數 x, y, z,使得 xn + yn = zn。費馬在他那本《算術》的頁邊寫道︰「我發現了一個絕妙的證明,但這個頁邊太窄,寫不下」。

最後一個猜想

然而後人在整理費馬的遺稿時,未有發現他所指的「絕妙證明」,其眉批成為數學界懸而未決的猜想。終其一生,費馬曾有很多斷言未提供證明(或已經遺失),但當中不少斷言被後來的數學家證明為真,除了上述那個。

這個猜想因此被稱為「費馬最後定理」或「費馬大定理」,成為不少數學家嘗試攻克的難題。費馬本身有另一個證明,可以推論出n=4時其猜想成立,餘下來就只需要證明,當n是任何大於2的質數p,費馬的猜想成立[1]

猜想出現後兩世紀,數學界仍只能證明多三個特例︰當n是3、5或7時猜想成立。而在19世紀,數學家熱爾曼(Sophie Germain)及庫默爾(Ernst Kummer)分別證明了猜想對於某類質數成立,然而無法推廣至所有質數。

在20世紀,有數學家推廣庫默爾的證明至2521以下的質數,其後又有人推廣至12萬5千以下的質數。直到1993年時,數學界已經知道費馬的猜想對於400萬以下的質數皆成立。

另一個猜想

不過質數有無限多個,即使用電腦驗證至10億、10兆甚至更大的數字時猜想成立,數學界仍不會視猜想已被證明。

1993年6月21日至23日,懷爾斯在劍橋大學的牛頓研究所用上三天時間,向數學界解說他對「谷山—志村猜想」的證明,這個猜想的名字來自兩位日本數學家谷山豐和志村五郎。兩人於1957年提出猜想,把模形式(modular form)及有理數域上的橢圓曲線拉上關係。

1986年,數學家弗雷(Gerhard Frey)證明,假如費馬的猜想不成立——也就是說我們可以找到4個整數 x,y,z,n 使得 xn + yn = zn(當中的n大於2)——這個反例可以用來證明谷山—志村猜想同樣不成立。

反過來說就是,假如谷山—志村猜想成立,則費馬猜想成立。弗雷的推論還需要一條定理,在同一年被證明成立。

完成「習題」

懷爾斯得悉此事後,便決定要證明谷山—志村猜想。懷爾斯曾憶述他在10歲時讀到的那本數學書中,作者居然叫讀者把費馬最後定理當作習題。恐怕作者也不曾料到,真的有讀者能把這道「習題」完成。

當懷爾斯決定要證明谷山—志村猜想後,用了7年時間孤軍作戰,而外界一直沒有人知道他正挑戰這道世紀難題。直到1993年他要向數學界解說證明前,才有傳言指他已經證明谷山—志村猜想。

懷爾斯解說的最後一日,房間內坐滿了人。「我想,我會在這兒結束。」懷爾斯的演講就此完結,他的證明成為了數學界頭等大事,甚至上了《紐約時報》頭版[2]

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圖片來源︰《紐約時報》

填補漏洞

接下來懷爾斯把論文寫好,寄去期刊讓同行審查。然而期間評審發現了證明中有一個漏洞,懷爾斯無法補好的漏洞。雖然懷爾斯大部份的結果不受影響——證明的其他部份仍然非常重要及創新——但這個漏洞會使他未能證明谷山—志村猜想。

懷爾斯找來他以前的學生泰勒(Richard Taylor),兩人花了一年時間嘗試解決這個問題。1994年9月14日,懷爾斯突然想到他以前放棄過的一個方法,經修改後可以解決證明中的漏洞。同年10月,他寄出兩份論文手稿,其中一份跟泰勒合著,修補了原本的漏洞。

論文通過審查並於1995年5月刊出,現時數學界普遍接受懷爾斯的證明成立。由於他用上大量現代數學的工具,才能證明這個三百多年的猜想,一般認為費馬的「絕妙證明」根本不存在。

獲頒阿貝爾獎


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photo credit:VI College價值投資學院

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本文以VI College價值投資學院的學員案例來分析推導,說明透過系統性的分析、目標設定及投資規劃,財富自由並非遙不可及的夢想,甚至能藉此達成財富自由與志業圓滿的雙重目標。

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她的夢想跟許多人相同,希望能靠著理財就不需要工作,每月有10萬元用來度假、15萬生活開銷資金和給家裡5萬的孝親費,同時維持目前每個月公益捐款的好習慣。現階段生活看似豐盛,但是距離自己設定的3億身家還有相當長一段距離,特別是盤點目前可動用初始資金只有美金3萬元,更讓心怡覺得目標難以達成。而在離開上一份工作後就因為帳面不缺錢而始終待業中,也讓心怡對未來不時感到不安。

擁有千萬身價,想要過上相對充裕、財富自由的生活是否是件難事?或許關鍵就在於資產負債組合當中的「負債」!

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photo credit:VI College價值投資學院
VI College價值投資學院台灣區總經理黃士豪建議心怡善用負債,打造財富自由並進而追求人生使命感。

給心怡的建議一:財富自由的關鍵在於善用「負債」。

與多數諮詢的學員相比,心怡的投資體質跟觀念都算相當完善,特別是本身資產分配方向十分多元,表現出對於投資她是有長期研究且願意嘗試的。而透過完整檢視「資產負債」「資產損益」及「投資組合」三張表格,我可以在短時間內理解學員本身屬於哪種類型投資者,目前於投資理財方面存在什麼問題通常也能一目了然。

財務問題一定是出在負債嗎?以心怡這個案例來看,反而是卡在分配最多資產於「保險」上,而能讓自己加速達成財富自由的機會,反倒是唯一且最大的負債「房貸」。

心怡的房子目前剩餘房貸已經低於房價50%,我建議她可以尋找銀行重新談30年換貸並加上使用三年房貸寬限期,這樣除了立即將每月10,000多元房貸支出減輕為幾千元,對待業中的心怡來說可減輕相當大支出負擔,還能取得一筆不小的資金將防守型資產轉為進攻型資產。如果又進一步將那些投資報酬率過低的儲蓄險贖回,將資金都投入進攻型投資項目中,能在三年寬限期內靠著投資達成每月10,000多元的被動收入,等同於用手邊資金幫自己繳未來每月房貸。

給心怡的建議二:明確財務目標,距離財富自由其實很近。

但想要財富自由真有那麼困難嗎?或許單靠心怡目前手邊資產能在60歲前達成願望。

如果以心怡目前保障型資產高達518萬、防守型資產1400多萬、進攻型資產僅有250萬,分配比例為24:64:12現況來看,如果維持投資組合現況每年約8%獲利計算,要達到3億身家需要40年9個月。

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photo credit:VI College價值投資學院
資產配置比例分配示意圖

但如果能將保障型資產降低至6%,防守型資產降低為31%,進攻型資產提高到63%,就目前心怡於美股平均獲利為15%,只需要將獲利提高至20%,16年又8個月就能實現3億身家目標。

圖表_2
photo credit:VI College價值投資學院
資產配置比例分配示意圖

但事實上3億真的是必要目標嗎?如果以心怡希望的未來生活來看,即使加上換房、換車及新房裝修等開銷,也只需要1億3千多萬資產,同樣投資組合、同樣獲利只需要13年,心怡於50歲前就能實現財富自由夢想。

給大家的財富建議:比起追求金錢,更該追求使命。

雖然心怡有相當大機會達成財富自由的夢想,但在諮詢過程中我也發現她對未來的不安感,主要原因來自缺乏「使命」。即使可以靠著理財就擁有不錯的生活,但缺乏使命可能會讓人覺得人生沒有重量感。除了追求財富自由,我常常建議學員建議一定要找到「沒有錢也會願意做」的事情,才有辦法創造更多財富,所以建議目前待業中的心怡可以趁著目前還沒有生活壓力,找到「使命」並做為主動收入來源。

我也會透過一連串問題引導學員,從這些問題的答案中找到一個方向後確實執行,無論透過創業、找到相關產業或相關職位,建立屬於自己的中長期志業規劃。在執行跟學習過程當中,也能夠找到更多元的新道路,這是每個成功者在找到財富事業前必經之路,藉由系統性的分析、規劃及目標設定,讓自己找到真正的人生快樂泉源。關鍵在於:你有找到屬於自己的「使命」了嗎?

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本文章內容由「VI College價值投資學院」提供,經關鍵評論網媒體集團廣編企劃編審。


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