曾花7年破解世紀難題 牛津教授獲數學界諾貝爾獎

曾花7年破解世紀難題 牛津教授獲數學界諾貝爾獎
Photo Credit: Charles Rex Arbogast / AP Photo / 達志影像
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數學家懷爾斯曾用7年時間證明350年來無人攻克的「費馬最後定理」,獲頒發數學界其中一項最高殊榮——阿貝爾獎,以表揚其工作對數學界的貢獻。

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諾貝爾獎中並不包括數學獎,但數學界有兩個大獎普遍被視為「數學界諾貝爾獎」,分別是每4年頒發一次,只授予40歲以下數學家的菲爾茲獎(Fields Medal)以及每年頒發的阿貝爾獎(Abel Prize)。

今年阿貝爾獎得主,是曾經花7年時間證明費馬最後定理的懷爾斯(Andrew Wiles)。在懷爾斯於1994年交出完整證明前,數學家已花費近360年嘗試證明該定理。雖然證明本身非常複雜,甚至被數學家康威(John Conway)稱作「世紀證明」,但定理的內容卻是小學生也能明白。

事實上,懷爾斯第一次接觸費馬最後定理時才不過10歲。當時他在放學回家的路上進了圖書館,然後讀到一本提及該定理的書,並驚訝那麼容易明白的猜想卻未有人能夠證明。當時他立志要證明費馬最後定理,後來發現自己知識有限後放棄,直至他33歲。

無人見過的「絕妙證明」

相信讀者都曾經在中學見過畢氏定理(古代中國稱為勾股定理)︰

假如一個直角三角形的邊長為a, b, c,則a2+b2=c2

在古代,巴比倫、希臘、中國及印度的數學家都發現,符合畢氏定理的整數有無限組,例如 (3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)……這代表我們能夠畫製無限多個邊長為整數的直角三角形。

1637年當數學家費馬(Pierre de Fermat)閱讀古希臘數學家丟番圖(Diophantus of Alexandria)的《算術》時,剛好讀到丟番圖解說如何把一個平方數寫成兩個有理數之和(有理數是指可以寫成分數的數字),書中例子是把16 (=42)分拆成(16/5)2+(12/5)2

費馬認為,對於任何立方數、4次方以至更高的次方,都不可能類似地分拆。以符號來說,就是對於任何大過2的整數n,我們均無法找到整數 x, y, z,使得 xn + yn = zn。費馬在他那本《算術》的頁邊寫道︰「我發現了一個絕妙的證明,但這個頁邊太窄,寫不下」。

最後一個猜想

然而後人在整理費馬的遺稿時,未有發現他所指的「絕妙證明」,其眉批成為數學界懸而未決的猜想。終其一生,費馬曾有很多斷言未提供證明(或已經遺失),但當中不少斷言被後來的數學家證明為真,除了上述那個。

這個猜想因此被稱為「費馬最後定理」或「費馬大定理」,成為不少數學家嘗試攻克的難題。費馬本身有另一個證明,可以推論出n=4時其猜想成立,餘下來就只需要證明,當n是任何大於2的質數p,費馬的猜想成立(原因可參考維基百科)。

猜想出現後兩世紀,數學界仍只能證明多三個特例︰當n是3、5或7時猜想成立。而在19世紀,數學家熱爾曼(Sophie Germain)及庫默爾(Ernst Kummer)分別證明了猜想對於某類質數成立,然而無法推廣至所有質數。

在20世紀,有數學家推廣庫默爾的證明至2521以下的質數,其後又有人推廣至12萬5千以下的質數。直到1993年時,數學界已經知道費馬的猜想對於400萬以下的質數皆成立。

另一個猜想

不過質數有無限多個,即使用電腦驗證至10億、10兆甚至更大的數字時猜想成立,數學界仍不會視猜想已被證明。

1993年6月21日至23日,懷爾斯在劍橋大學的牛頓研究所用上三天時間,向數學界解說他對「谷山—志村猜想」的證明,這個猜想的名字來自兩位日本數學家谷山豐和志村五郎。兩人於1957年提出猜想,把模形式(modular form)及有理數域上的橢圓曲線拉上關係。

1986年,數學家弗雷(Gerhard Frey)證明,假如費馬的猜想不成立——也就是說我們可以找到4個整數 x,y,z,n 使得 xn + yn = zn(當中的n大於2)——這個反例可以用來證明谷山—志村猜想同樣不成立。

反過來說就是,假如谷山—志村猜想成立,則費馬猜想成立。弗雷的推論還需要一條定理,在同一年被證明成立。

完成習題

懷爾斯得悉此事後,便決定要證明谷山—志村猜想。懷爾斯曾憶述他在10歲時讀到的那本數學書中,作者居然叫讀者把費馬最後定理當作習題。恐怕作者也不曾料到,真的有讀者能把這道「習題」完成。

當懷爾斯決定要證明谷山—志村猜想後,用了7年時間孤軍作戰,而外界一直沒有人知道他正挑戰這道世紀難題。直到1993年他要向數學界解說證明前,才有傳言指他已經證明谷山—志村猜想。

懷爾斯解說的最後一日,房間內坐滿了人。「我想,我會在這兒結束。」懷爾斯的演講就此完結,他的證明成為了數學界頭等大事,甚至上了《紐約時報》

填補漏洞

接下來懷爾斯把論文寫好,寄去期刊讓同行審查。然而期間評審發現了證明中有一個漏洞,懷爾斯無法補好的漏洞。雖然懷爾斯大部份的結果不受影響——證明的其他部份仍然非常重要及創新——但這個漏洞會使他未能證明谷山—志村猜想。

懷爾斯找來他以前的學生泰勒(Richard Taylor),兩人花了一年時間嘗試解決這個問題。1994年9月14日,懷爾斯突然想到他以前放棄過的一個方法,經修改後可以解決證明中的漏洞。同年10月,他寄出兩份論文手稿,其中一份跟泰勒合著,修補了原本的漏洞。

論文通過審查並於1995年5月刊出,現時數學界普遍接受懷爾斯的證明成立。由於他用上大量現代數學的工具,才能證明這個三百多年的猜想,一般認為費馬的「絕妙證明」根本不存在。

獲頒阿貝爾獎

1998年的國際數學家大會上,懷爾斯獲頒發一個特別獎。菲爾茲獎也是在每4年一度的大會開幕禮中頒發,由於懷爾斯在完成證明時已超過40歲,因此無法獲獎。懷爾斯證明費馬最後定理的工作得到廣泛肯定,獲頒多個大獎,包括費馬獎、沃爾夫獎(Wolf Prize)及邵逸夫獎等。

是次懷爾斯獲頒發的阿貝爾獎,由挪威政府在2002年挪威數學家阿貝爾(Niels Henrik Abel)誕生200周年時設立,授予的數學家均須對數學界有非凡深度及影響力之貢獻。

負責頒發獎項的挪威科學與文學院於表示,懷爾斯獲獎是因為他對費馬最後定理令人驚嘆的證明,而該證明讓數論進入了新時代。新聞稿指懷爾斯是少數——如非唯一——證明數學定理能上國際報章頭版的數學家。委員會認為在數學史上,很少數學結果能像費馬最後定理般有如此豐富的歷史,以及戲劇性的證明。

頒獎禮在5月24日於奧斯陸舉行,屆時懷爾斯會得到600萬挪威克朗(約60萬歐元或70萬美元)。

對費馬最後定理有興趣的讀者,可以參考賽門.辛(Simon Singh)所著的《費瑪最後定理》。BBC的《地平線》(Horizon)系列,亦有一套講述這定理的記錄片《Fermat’s Last Theorem》。

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