數學家意料之外的發現︰質數不喜歡「重蹈覆轍」

數學家意料之外的發現︰質數不喜歡「重蹈覆轍」
Image Credit: Stock4B / Corbis / 達志影像
我們想讓你知道的是

兩名來自史丹福大學的數學家最近發現一個有趣現象︰兩個相鄰質數的個位數比較傾向不一樣。這個現象令數學家感到驚訝,但兩人以一個未證實的猜想解釋。

唸給你聽
powered by Cyberon

質數是數學界最古老又最迷人的題目之一,其定義非常簡單︰「只能被1或自身整除的數字」,但還有很多基本問題未能解決,例如「是否存在無限對孿生質數?(差距為2的質數對,例如3及5、17及19、41及43等)」——數學家張益唐三年前以新方法打開缺口,但目前數學界仍未有最終答案。

看似無序的質數

菲爾茲獎得主陶哲軒曾指出,數學界——至少是研究質數的社群——對質數的特性有不少猜測,也很有信心這些猜想成立,但要證明時便遇到極大困難。他認為其中一個原因是數學家普遍相信質數在很多方面都呈現「偽隨機」的特性——即跟隨機選取的數字無異——而缺乏簡單規律。

當然,質數並非隨機選取的︰我們知道除了2及3外,不可能再找到一對只相差1的質數——因為任何連續兩個數字,都有最少一個雙數;我們亦知道除了5以外,任何質數的個位都不會是5。數學家也知道質數整體分佈符合某些規律,例如質數定理讓數學家可以估算在特定數字(例如100萬)以下有多少質數。

近日有數學家在收集期刊論文預印本的網站arXiv上載論文,指出一個關於質數的新發現,並提出猜想去解釋為何會有此現象。

討厭重複的質數?

論文題目為《連續質數的分佈中一個意料之外的偏差》( Unexpected biases in the distribution of consecutive primes)。來自史丹福大學的Kannan Soundararajan及Robert Lemke Oliver發現,隨機抽取兩個連續質數,尾數相同的機率似乎會較低。

換言之,假設你知道某個數是質數,個位為1,那麼緊接下一個質數的個位是3、7或9的機會要比1大,就像質數「不喜歡」跟上一個質數有相同尾數般。不過這僅是質數整體分佈的現象,絕不代表任何相鄰的質數個位都不一樣。

更甚者,此現象不限於10進制,無論是用3進制、4進制以至12進制,類似現象亦會出現。兩位作者寫了程式統計,在數個進位制下直到10億甚至1萬億,數據均符合理論預測。

這現象的確使數學家感到驚奇,數論專家Andrew Granville說︰「我們研究質數已有很長時間,但在此之前未有人發現這現象。真的很瘋狂。」而且這發現跟大部份數學家所想完全相反,另一數論專家Ken Ono更指在聽到消息時,曾認為兩人的程式出錯。

擲硬幣的反直覺現象

論文作者之一的Soundararajan之所以會研究連續質數,源於曾聽到劍橋大學數學家Tadashi Tokieda提到一個違反直覺的現象︰如果A、B兩人不斷擲硬幣,A要擲到「正反」(順次序)才停止,而B要擲到「正正」才停止,那麼平均而言,A只需要擲4次,但B需要擲6次——即使「正反」和「正正」出現的機率一樣。(讀者可自行做實驗,及按此閱讀解釋。)

Soundararajan想知道這個現象會否在其他地方出現,於是開始研究以3進制寫的質數——在3進制下,大約有一半的質數個位為1,另一半的質數個位是2。他發現在1000以下,對1為尾數的質數而言,緊接的質數個位是2的機率較1高一倍,反之亦然。

他告訴同樣在史丹福大學的博士後研究生Lemke Oliver,後者感到震驚,立即寫了程式搜尋首4000萬個質數的分佈,發現質數似乎真的避免跟上一個質數「撞尾數」。兩人後來發現在10進制中亦有類似現象,並猜測對於任何進位制均是如此。

「我們還看漏了甚麼東西?」

兩人認為,數學上未有證明的「哈代—利特活k-元組猜想」(Hardy-Littlewood k-tuple conjecture)可以解釋這個現象。k-元組猜想是關於質數分佈的一個重要猜想,假如成立的話數學家可以推論出其他結果,例如尚未證明的「孿生質數有無限多對」。

而k-元組猜想是數論其中一個普遍相信為真(而未有證明)的猜想,Soundararajan及Lemke Oliver在假設k-元組猜想下估算連續質數有相同個位的比率,再跟程式運算得出的統計數據比較,發現兩者吻合。

換言之,兩人的發現雖然令數學界感到意外,仍然跟數學家普遍相信的k-元組猜想一致。目前兩人仍未能證明其發現,只能以k-元組猜想提供解釋,並以實驗數據支持。

無論如何,這項發現讓數學家以新角度研究質數。Ono認為他需要重新思考如何去教其解析數論課,Granville則表示︰「這令人好奇,關於質數我們到底還看漏了甚麼東西?」。