《數造傳奇》觀影隨筆︰為利特活及數學證明平反

《數造傳奇》觀影隨筆︰為利特活及數學證明平反
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電影《數造傳奇》中,呈現了印度數學奇才拉馬努金越洋到劍橋大學的故事。戲中對另一位數學家利特活著墨不多,其實也是個獨當一面的數學家。

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看了《數造傳奇》(The Man Who Knew Infinity)這套關於印度數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)的電影,不過我無法評論這套電影好壞,例如演員質素、鏡頭、故事推進等,因為在我等數學愛好者眼中,拉馬努金這位數學奇才的光輝蓋過了一切。

所以本文就不談電影,只談些關於拉馬努金、哈代(G. H. Hardy)及利特活(J. E. Littlewood)等人的數學小故事,雖然散亂,但也請小心劇透。

拉馬努金的直覺與哈代的比喻

拉馬努金自學成材,源於他在1903年借到G. S. Carr的《純粹與應用數學基本結果概覽》(A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics)一書。這本書僅列出當時多達5000條基本數學定理,往往只有簡略解釋,沒有證明,但拉馬努金一看就著迷,並由此書發展出自己的數學理論。

這使他的數學知識非常奇特,一方面他以其獨到的直覺「看」一些前人所未見的公式,另一方面一些基本的數學他也可能完全不懂。哈代曾評價說︰「他(拉馬努金)的所有結果,無論新或舊、對或錯,均來自混雜的論證、直覺及歸納的過程,而他完全無法給出一致的說法。」

電影最初提到,哈代曾指發現拉馬努金是他對數學最大的貢獻,這似乎是他一次接受艾狄胥(Erdős Pál)訪問時說的。艾狄胥也是個天才,其故事同樣有趣,傳記更叫做《數字愛人》(The Man Who Loved Only Numbers),關於他的記錄片《N is a Number》同樣值得一看。

戲中拉馬努金向妻子解釋數學之美時,說想像那是一張沒有顏色的畫。哈代在他的《一個數學家的自白》(A Mathematician's Apology)中也有個類似比喻︰「像畫家及詩人一樣,數學家創造模式(patterns)。假如其創造的模式比其他人更經得起時間考驗,那是因為他們的以意念製成。」

一般人也許因考試而害怕數學,以為數學只是沉悶重複的計算,這電影至少告訴大眾,數學可以如此美麗,也需要創造力。

被忽略的利特活

在這套電影內似乎是個喜劇角色的利特活,甫出場就有人向他戲言,說有傳聞指他是由哈代虛構出來的人物。有說利特活本人曾在學術會議中遇到一個德國數學家,對方驚訝地發現利特活居然存在,本以為是哈代用來發表比較次等成果的筆名。

不過利特活本人其實也是個獨當一面的數學家,丹麥數學家Harald Bohr曾以一個笑話來說明,哈代及利特活兩人如何被視為英國數學界代表。他指有同事曾向他笑言︰「現在只有三個真正偉大的英國數學家︰哈代、利特活,以及哈代—利特活(不少定理、猜想以兩人命名)。」

哈代跟利特活頻繁合作,他們訂立了以下規則︰

  1. 寫給對方的東西,對錯完全不重要(哈代解釋,是為了讓雙方盡量自然去寫);
  2. 當其中一人收到對方的信件事,並無任何責任要閱讀,遑論回覆;
  3. 兩人盡量不要同時去思考同一細節;
  4. 無論雙方貢獻如何——即使一人全無貢獻——所有內容均以兩人名義發表(避免任何爭執)。

艾狄胥覆述過哈代對不同數學家的評分,以100分為標準,單看數學天份的話,哈代給自己25分,利特活30分,希爾伯特(David Hilbert,20世紀初最具影響力數學家之一)80分,而拉馬努金則是——100分。

電影末段哈代亦說,當他鬱悶或被迫聆聽自大狂或煩厭的人說話時,他會對自己說︰「我做過一件你們不可能做到的事——我曾跟利特活和拉馬努金對等合作。」足見利特活並非等閒之輩,而拉馬努金更是罕見的奇才。

要求證明是西方優越?

讀到有影評認為,「拉馬努金認為自己的數學天賦來自神旨,對比於哈代堅定的無神論及強調實證的形象,哈代與拉馬努金之間經歷衝突、磨合,最終至拉馬努金的妥協,無異乎再次以『知識』強調西方的優勢」。要是說強調證明是「西方優勢」,我只能夠說,這名影評人不懂數學。

拉馬努金電影中備受殖民者歧視,甚至電影本身也似乎自嘲去讓拉馬努金說出「你卻要求我說英語」的對白(電影中印度角色互對話也說英文的確很奇怪,聞說除了要遷就觀眾,亦因為戲中演員不懂泰米爾語)。在處理分割問題時,拉馬努金同樣面對嚴重的種族歧視,被看扁他一定無法解決這問題,結果卻取得重大突破。

話說回來,要求證明(好吧我忍不住了,字幕把「prove/proof」譯成「驗證」而非「證明」,簡直是差得可怕)是否「強調西方優勢」?在數學中,違反直覺的定理並不罕見,很多公式對於較小的數字成立,但我們不能由此判斷「對所有數字成立」,只能訴諸數學證明。

戲中哈代向拉馬努金表示,拉馬努金著迷於形式,是歐拉(Leonhard Euler)和雅各比(Carl Gustav Jacob Jacobi)那一類人。電影中沒提到的是,歐拉這名史上其中一位最偉大的數學家,有不少「證明」以現今標準其實不算嚴謹,然而像拉馬努金一樣,其直覺使他們「看」到很多數學家無法想像的公式。

細心觀影的話應該記得,利特活否證了拉馬努金憑直覺視為理所當然的假設(關於黎曼zeta函數)。

1914年,利特活證明了,雖然在x的值較小時,函數li(x)(別問是甚麼,有興趣就按連結看)的值總是大於 π(x)的值(x以下的質數數目),但其實π(x)和li(x)會互相超越無限多次。換言之,當x越來越大,有時候π(x)比較大,有時候π(x)比較小,沒完沒了。利特活其中一名學生Stanley Skewes更找到了π(x)首次超越li(x)的上限——是個非常大的數字

20世紀初,不少數學已發展得非常嚴謹,即使哈代和利特活都相信拉馬努金的天賦,也總不能因為他是拉馬努金就說了算吧?就算哈代本人也不能這樣,所以數學家才需要證明,說這是「科學實證作為掩護其西方優越的屏障」未免太自暴其短,同時忽略了拉馬努金過份依賴直覺、輕視證明,至少有部份源自他未曾接受正規數學訓練。

順帶一提,戲中自然少不了著名的「哈代—拉馬努金數」1729——最少可以寫成兩個正整數立方之和的數字(1729 = 103+ 93 = 13 + 123)。不過據哈代的說法,那段對話應在他到療養院探望拉馬努金時發生的。另外,哈代在戲中要比真實老了很多(跟拉馬努金相遇時他只有37歲),而拉馬努金的妻子珍娜琪(Srimathi Janaki)則應該更年幼(兩人於1909結婚,當時珍娜琪只有10歲)。

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