數學家哈代的金句與「無用」的數學

上個月寫《數造傳奇》（The Man Who Knew Infinity）時，集中寫了哈代（G. H. Hardy）對拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）的評價以及利特活（J. E. Littlewood）的故事，居然忽略了哈代的一些金句，就借今次寫官方部落格的機會補充一下。

一流數學家哈代

哈代的《一個數學家的自白》（A Mathematician's Apology）^[1]有段經典開場白︰

發現自己在寫跟數學有關的文章，對專業數學家而言是悲哀的經驗。數學家的功用是做事——證明新定理、增加數學知識——而非講述自己或其他數學家做過甚麼。

為甚麼他會覺得悲哀？因為他認為「解釋、批評或賞析，是二流頭腦的工作」。然而他還是寫了，成書時他已經六十多歲，過了數學生涯的高峰期。書中他亦強調「數學家不應忘記，數學是年輕人的遊戲，遠超其他藝術及科學」，也許正因如此，才有這段略帶鬱悶的開首。

或者這種鬱悶使他在書中寫道「我不知道有甚麼數學進展來自超過50歲的人」——但實際上還有不少^[2]，而利特活在80歲時仍然繼續發表論文^[3]。

哈代乃當時首屈一指的數學家，有句帶點傲氣的金句令我印象深刻︰「一流的人永遠不應花時間去發表主流意見——根據定義，已經有很多人這樣做。」

這句話來自《一個數學家的自白》初版中C. P. Snow（討論「兩種文化」那位）的序言，他引述哈代的金句時提到這個例子。我想，即使並非一流的人，其實也毋須花時間發表主流意見，特別是在爭先恐後發聲評論的年代。

哈代的數學無用論

提到哈代和這本書，自然不能忽略他對「數學無用論」的推崇。現時的數學教育折磨過也正在折磨不少人，使他們不禁要問「數學到底有甚麼用」？我們日常生活，真的會用上三角函數、二次方程或微積分嗎？（工程上當然有用但那是工程師的事。）

哈代的「數學無用論」卻不帶怨恨，反而語帶自豪︰「我從沒有做過『有用』的事」，他甚至宣稱只有小部份數學實際上有用——而且那些數學相對沉悶。「從任何實用標準來看，我整個數學生涯的價值是零。」

他強調︰「我的發現當中，沒有任何一個曾經或將會、直接或間接、為好或壞的目標對世界有任何改變」。

這種看似奇怪的滿足，源自他是個徹底的和平主義者。在《數造傳奇》中，哈代跟羅素（Bertrand Russell）等人宣揚反戰訊息，羅素更因此而要離開劍橋的聖三一學院。電影中羅素跟哈代說，後者有自己的仗要打（為拉馬努金爭取認同），但戲中沒說的是，哈代在1919年也離開了聖三一學院。

離地數學的實際應用

他視純數學為「真正的數學」，然後宣稱「真正的數學」對戰爭沒有用，即使彈道學、流體力學等在戰爭中有用，這些學科不屬於「真正的數學」。他更明言「沒有人發現過數論或相對論有任何戰爭上的用處，而且在很多年內也應該沒有人能發現。」

不過在一切都變得數碼化的今天，軍方非常需要「真正的數學家」，現代密碼學更用上大量數論結果及工具。在他寫下這句話的40年內，公鑰加密法已經出現。而要判斷他有沒有被打臉，得視乎我們如何理解「很多年」。

容我舉另一個在他有生之年內的反例作結︰當數學家希爾伯特（David Hilbert）提出判定問題（Entscheidungsproblem），想到的只是「在一階邏輯中，我們能否找到方法判斷任何公式對確與否」這問題源自萊布尼茨（Gottfried Leibniz）希望能用類似數學的方法，解決一切紛爭。

這個看起來非常「離地」而象牙塔的問題，在1936年分別由數學家丘奇（Alonzo Church）及其學生圖靈（Alan Turing）獨立解決，答案是「不」。圖靈在其論文中，提出一個抽象的數學模型，後世稱為「圖靈機」，後來（容我漏掉一大段歷史）我們就有電腦。