西方邏輯學簡史︰由亞里士多德到二十世紀

西方邏輯學簡史︰由亞里士多德到二十世紀
Photo Credit: Raphael's School of Athens, Public Domain

我們想讓你知道的是

雖然運用論證是理性的人的基本能力,但有系統地研究論證,其開端卻是亞里士多德。經過二千多年的發展,邏輯變成了一個大家族,除了被視為正宗的「古典邏輯」外,還有各式各樣的邏輯系統。

Logic is one of the most ancient intellectual disciplines, and one of the most modern. Its beginnings go back to the 4th century ec. The only older disciplines are philosophy and mathematics, with both of which it has always been intimately connected. (Priest, 2001, “Preface”)

「邏輯是研究思考的學科」、「邏輯是研究推理的學科」、「邏輯是研究最穩固的真理的學科」──翻查邏輯書,難免發現邏輯學家對「邏輯學」的定義也是莫衷一是,然而,縱使每本邏輯書的界定都不一樣,它們依然有一個共同主題︰論證(argument)。比如,以下便是一個論證︰

這隻狗會吠陌生人
牠沒有吠兇手
因此,兇手不是陌生人

論證是語句的組合,其中一個是論證者想要支持的語句,稱為「結論」 (conclusion) ,其餘的都是用來支持結論的證據,稱為「前提」(premise) 1。在這個例子,結論是「兇手不是陌生人」,前提則是「這隻狗會吠陌生人」和「牠沒有吠兇手」。即使邏輯學沒有公認的定義,至少邏輯學家都同意,論證一直處於邏輯學的核心地帶。

亞里士多德

論證的運用在古希臘已經相當受重視。希臘數學家證明幾何學定理,例如畢氏定理,用的是幾何學論證;辯士(sophists)教導富裕年青爭奪權力,教的是運用論證的技巧;古希臘哲學家反對非矛盾律(the law of non-contradiction)、證明悖論(paradox)、檢查別人的信念是否一致,用的也是論證。雖然運用論證是理性的人的基本能力,但有系統地研究論證,其開端卻是亞里士多德(Aristotle 384-322BC)。

亞氏所創的邏輯即是今日的定言三段論(categorical syllogism),研究的論證都是涉及「所有」和「有些」的語句。亞氏的邏輯研究由四類基本語句組成的論證:

所有 S 是 P
所有 S 都不是 P
有些 S 是 P
有些 S 不是 P
All S is P
All S is not P
Some S is P
Some S is not P

比如,以下兩個論證,一個是「正確的」,另一個卻是「不正確的」:

所有人都會死(All H is M)
所有希臘人都是人(All G is H)
因此,所有希臘人都會死(All G is M)
*******
所有羅馬人都會死(All R is M)
所有希臘人都會死(All G is M)
因此,所有羅馬人都是希臘人(All R is G)

第一個論證,當兩個前提都為真,結論也必定為真,相反,第二個論證的前提和結論便沒有這種必然關連。具有這種關連的論證,在邏輯學稱為「對確論證」(valid argument)。這情況又可說是「前提蘊涵(entail)結論」或「前提保證(guarantee)結論」。

除了定言三段論,亞氏另外觸及含有模態詞(modal term)的論證,成為今日模態邏輯(modal logic)的濫觴。比如,亞氏在 On Interpretation (18 b 23 ff.) 檢查一個運用模態詞「必然」的論證︰

要麼明天有海戰,要麼明天沒有海戰
如果明天有海戰,則明天必然有海戰
如果明天沒有海戰,則明天必然沒有海戰
因此,要麼明天必然有海戰,要麼明天必然沒有海戰

由於亞氏認為有「開放未來」(open future)──未來發生的事件都是偶然的,不是必然的──雖然「明天有海戰」和「明天沒有海戰」都有可能發生,但兩者都不是必然會發生的,因此,此論證的結論是假的。不少後學認為,亞氏進而推論第一個前提「要麼 明天有海戰,要麼明天沒有海戰」有問題,理由是關於未來的語句都沒有真假可言, 包括「明天有海戰」和「明天沒有海戰」這兩個互相矛盾的語句。認為兩個互相矛盾的語句 p 和 not-p 非真非假,是日後多值邏輯(many-valued logic)的核心思想:因為 p 除了真 (truth) 和假 (falsity) ,尚有第其他值,連帶 not-p 也一樣會有真假以外的第三個值,因此 p 和 not-p 都可以既不為真,亦不為假。2

斯多葛學派

斯多葛學派(Stoicism)是亞氏以後另一個邏輯研究的傳統。有別於亞氏,斯多葛學派的研究核心不在於「所有」和「有些」這兩個涉及數量的語詞,而在於用來連結兩個完整語句的連詞(connective),例如「或者」、「而且」、「如果…則…」。舉個例子,

如果小明睡過頭,則小明會遲到
小明睡過頭
因此,小明會遲到


這論證沒有牽涉到數量,關鍵反而在於第一個前提使用了連詞「如果…則…」。它連結兩個完整語句,將「小明睡過頭」和「小明會遲到」組合起來,形成一個複合語句,又稱為「條件句」(conditional)。若用符號取代簡單的語句,條件句的作用便更加明顯:

如果P則Q
P
因此,Q

然而,條件句的意義無論是在當時還是在當代都有許多爭議。當時就已經有 Philo of Megara 和 Diodorus Chronos 提倡的兩種理解方式,今日關於條件句的理論更是多不勝數。但無論如何,斯多葛學派研究語句連詞,已具今日的語句邏輯(sentential logic)的雛形。3

除了研究對象不同,亞氏學派和斯多葛學派對邏輯學的地位亦有意見分歧。亞里士多德將邏輯視為普遍的思考工具而不是哲學的一部分,相反,斯多葛學派視邏輯為哲學的三個分支之一。儘管如此,兩個學派都同意學生應該盡早學邏輯,特別是在涉獵其他領域的學問之前。

中世紀的發展

步入中世紀,最有標誌性的邏輯學家當數波愛修斯(Boethius 480-524)。他除了留意到亞氏論證涉及的模態歧義,還將亞氏許多邏輯著作翻譯成拉丁文。有趣的是,公元七至十二世紀,阿拉伯世界主導了邏輯學的研究,其時雖有不少邏輯學家是基督徒,大多邏輯學家還是穆斯林。

十一、十二世紀,歐洲的邏輯學復興,最先是安瑟倫(Anslem 1033-1109)和阿伯拉爾(Peter Abelard 1079-1142)的著作使得邏輯學再受重視,後來出現愈來愈多亞氏邏輯的譯著,甚至出現了更為普及的 ── 如 Peter of Spain 和 William of Sherwood 的 ── 邏輯教科書。亞氏的三段論邏輯成為中世紀邏輯的主流,邏輯學家進一步在三段論裡做更細致的區分,例如,依三段論詞項(term)的位置劃分四類格位(figure),甚至為各種三段論論證定名,比如 “Barbara” 和 “Celarent” 分別代表4

Barbara
所有 M 都是 P
所有 S 都是 M
因此,所有 S 都是 P
Celarent
所有 M 都不是 P
所有 S 都是 M
因此,所有 S 不都是 P

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