西方邏輯學簡史︰由亞里士多德到二十世紀

西方邏輯學簡史︰由亞里士多德到二十世紀
Photo Credit: Raphael's School of Athens, Public Domain

我們想讓你知道的是

雖然運用論證是理性的人的基本能力,但有系統地研究論證,其開端卻是亞里士多德。經過二千多年的發展,邏輯變成了一個大家族,除了被視為正宗的「古典邏輯」外,還有各式各樣的邏輯系統。

到了十四世紀,兩個最有代表性的邏輯學家,分別是奧坎(William of Ockham 1287-1347)和布里丹(Jean Buridan 1295-1363)。前者最著名的是提出「奧坎剃刀」(Ockham's Razor),後者則是「布里丹之驢」(Buridan's ass)。

在邏輯學方面,奧坎發展了一些模態邏輯的原則,而布里丹則陳構了用來檢查三段論是否對確的規則,例如其中一條規則是:如果結論是否定句,前提必須剛好只有一句否定句,否則論證會是不對確的。今日坊間的邏輯書,若教到定言三段論,多數也會教用規則檢查論證是否對確的方法,這些規則由三條到七條不等,其源頭便是布里丹在十四世紀的研究。5

十九世紀︰數理邏輯萌芽

另一個檢查定言三段論是否對確的方法,則是十九世紀發展的范氏圖(Venn Diagram)。范氏圖的雛形是十八世紀數學家歐拉(Leonhard Euler 1707-1783)所創的歐拉圖,經由十九世紀的數學家范恩(John Venn 1834-1923)改良,今日通稱「范氏圖」或「范恩圖」。十九世紀的邏輯書仍然圍繞亞氏的三段論,當時的大哲學家康德甚至明言,亞氏的邏輯已經到了無可再改進的地步6。著名的小說家兼邏輯學家卡羅(Lewis Carroll 1832-1898)出版《愛麗絲夢遊仙境》,裡面就有不少古靈精怪的三段論論證。

十九世紀的大思想家之中,黑格爾(Georg Wilhelm Friedrich Hegel 1770-1831)和馬克思(Karl Marx 1818-1883)可謂別樹一幟。亞里士多德以後,邏輯學家普遍接受非矛盾律 (the law of non-contradiction)。亞氏以後的兩千年間,(除佛教哲學外)只有兩個思想家──在某意思底下──反對這條定律,這兩個人就是黑格爾和馬克思。不過,二人對世界的影響雖然巨大,在形式邏輯方面造成的改變始終有限,放棄非矛盾律的形式邏輯系統,到當代才正式出現。7

不少邏輯學家於十九世紀嘗試在邏輯上使用類似代數的記號方式,例如,迪摩根(Augustus De Morgan 1806-1871)將亞氏邏輯的「所有 S 都是 P」寫成「S))P」、將「有些 S 是 P」寫成「S()P」,方便做邏輯推算以及判斷論證是否對確。迪摩根記號法促進形式語言的發展,但在邏輯史上的影響卻遠不如他的另外兩個貢獻。第一個是他提出今日知名的「迪摩根定律」(De Morgan's laws):

Not both A and B = Either not-A or not-B
Not either A or B = Both not-A and not-B

第二個則是證明亞氏的三段論無法處理所有對確論證,例如「所有狗都是動物,因此所有狗的頭都是動物的頭」

十九世紀另一位舉足輕重的邏輯學家,布爾(George Boole 1815-1864)創出布爾代數(Boolean algebra),使得邏輯學家可以用類似數學計算的方式檢查論證是否對確。比如,令「H」代表人類的集合、「M」代表會死的東西的集合、「G」代表希臘人的集合,「HM」代表 H 和 M 的交集(會死的東西),「H=HM」代表 H 的集合與 H 和 M 的交集是同一個集合,如此類推。上述的定言三段論可表達成︰

所有人都會死
所有希臘人都是人
因此,所有希臘人都會死
H=HM
G=GH
∴ G=GM

根據第一個前提 H=HM ,由第二個前提G=GH可得到G=GHM (將 "H"換成"HM")。由於第二個前提,剛才得到的語句其實就是G=GM(將"GH"換成"G")。由此便可由前提逐步演算到結論。

布爾提出的布爾式子(Boolean formula)可詮釋成關於集合的式子,也可詮釋成關於語句的式子。最左的一欄是布爾式子,中間一欄將之詮釋成集合式子,右邊一欄詮釋成語句式子︰

-A
A∩B
A∪B
Non-A 的集合
A 和 B 的交集
A 和 B 的聯合
Not A
A and B
A or B

假如「A」是動物的集合,「-A」就是非動物的集合;假如「A」是語句「亞里士多德是動物」,「-A」就是語句「亞里士多德不是動物」8。今日所謂的「布爾運作元」(Boolean operator),通常是指關於語句式子的運作元,亦即是語句邏輯裡「不是」(not)、「而且」(and)、「或者」(or)等語句連詞(sentential connective)。

早在布爾前兩個世紀,萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716)已經發明微積分,並提倡利用形式語言處理算術。當時萊布尼茲已創了與布爾相近的邏輯記號法,可惜相關著作卻在布爾的作品以後才出版。布爾在邏輯史上被視為「數理邏輯之父」(the father of mathematical logic),因為他的貢獻為十九世紀末、二十世紀初的數理邏輯革命奠定基礎。

弗列格︰更強大的邏輯系統

當代的數理邏輯,最直接的源頭是德國數學家弗列格(Gottlob Frege 1848-1925)。弗列格在1879年出版《Begriffsschrift》(即「Concept Writing」),提出一套遠比亞氏邏輯與斯多葛邏輯更加強大的邏輯系統,一方面能處理關於「所有」、「有些」等關乎數量的語句,另一方面又可應付「如果…則…」、「不是」、「而且」等連詞。弗列格的系統基本上就是今日述詞邏輯(predicate logic)的原型,而且已經有明確的規則判別哪些式子合乎文法、哪些是恰當的證明序列。


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我們想讓你知道的是

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