西方邏輯學簡史︰由亞里士多德到二十世紀

西方邏輯學簡史︰由亞里士多德到二十世紀
Photo Credit: Raphael's School of Athens, Public Domain

我們想讓你知道的是

雖然運用論證是理性的人的基本能力,但有系統地研究論證,其開端卻是亞里士多德。經過二千多年的發展,邏輯變成了一個大家族,除了被視為正宗的「古典邏輯」外,還有各式各樣的邏輯系統。

此外,使用弗列格的邏輯系統,我們甚至能夠處理亞氏邏輯與斯多葛邏輯都無法處理的論證,例如,弗列格的系統可以證明「有一個人是所有人都喜歡的,因此,所有人都喜歡至少一個人」是對確論證。

不過,弗列格當時採用的記號法相當彆扭。他用來翻譯「不是」、「如果…則…」、「所有」的記號是:

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語句「不是所有 A 都不是 B 」在現時的邏輯系統翻譯成「¬∀x(Ax→¬Bx)」或者「∃x(Ax∧Bx)」,但在弗列格的系統卻要「畫」成︰

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因此,現今只需寫幾行的邏輯推論,用弗列格系統便可能要畫一幅橫跨數頁的圖。不少學者都認為,弗列格一直為學界所忽略,有部分得歸咎於他這套「趕客」的記號法。

邏輯系統只是弗列格哲學計劃的一部分。弗列格的哲學計劃叫做「邏輯主義」(logicism),基本想法是:數學能夠化約(還原)成邏輯。他的邏輯系統就是為了實現這個目的而出現。在他的系統,除了最基本的證明規則,尚有一些他認為明顯正確的公理(axiom)。透過這些公理和證明規則,弗列格相信可以由此推導出所有數學真理。

然而,弗列格的夢想很快就隨著他在 1902 收到的一封信而破滅。當時弗格列已出版他邏輯主義計劃的第一冊書,準備出版第二冊,那封信卻指出整個計劃最核心的系統有一條公理內含矛盾,使得他的計劃從 根基被摧毀。弗列格在當時匆匆修正第二冊的內容,但很快就發現他的修正於事無補,最後終於放棄了自己半輩子的計劃。

「古典邏輯」誕生

那封1902年的信,寄出人是羅素(Bertrand Russell 1872-1970),信內證明矛盾的想法,衍生出日後的羅素悖論(Russell’s Paradox)。羅素毀了弗列格的畢生志業,但同時也是弗列格的伯樂。弗列格在生的時候籍籍無名,他的哲學和邏輯也只有極少人留意,因為羅素的推崇和影響,學界才漸漸注意到他,甚至後來被尊為分析哲學的老祖宗。

羅素本身也是邏輯主義者,認為數學能夠化約成邏輯。他延續弗格計的計劃,和老師懷德海(Alfred North Whitehead 1861-1947)合作,著力發展一套能夠避開羅素悖論的邏輯系統,創了另一套更平易近人的記號法(非常接近今日邏輯採用的記號法)。在意大利數學家皮亞諾(Giuseppe Peano 1858-1932)基礎之上,羅素和懷德海在1910至1913年出版了《Principia Mathematica》 ,這本巨著所陳構的邏輯系統成為當代的標準系統,取代主導了邏輯學二千年的亞氏邏輯。

弗列格和羅素的邏輯系統除了記號法有差異,其他大致一樣,因此兩者同被歸為「古典邏輯」(classical logic)。9取名「古典」,並非由於它夠古老。比年資,亞氏三段論比古典邏輯老二千多歲。「古典邏輯」的「古典」(classical),意思其實是「標準」(standard),因為這系統已經是現時基礎邏輯課的必學系統。10

在弗列格和羅素以後,邏輯學家發展出另一套更簡潔的記號法,稱為「波蘭記號法」(Polish notation)。此外,弗列格和羅素的證明系統是公理證明法,後來的邏輯學家另外發展出自然演繹法(natural deduction)、樹枝證明法(tableau)、序列證明法(sequent calculus)等證明系統。除此外之,維根斯坦(Ludwig Wittgenstein 1889-1951)和普斯特(Emil Leon Post 1897-1954)獨立發明了真值表法(truth table method),建立了古典語句邏輯的語意。後來的塔斯基(Alfred Tarski 1901-1983)發展出另一套更強大的語意理論,古典述詞邏輯的語意也得以確立。

邏輯的「極限」與電腦發展

然而,邏輯系統的「極限」亦在同一時間漸漸浮現。二十世紀的數學家哥德爾(Kurt Gödel 1906-1978)一方證明古典邏輯的完備定理(completeness theorem)── 羅素系統的邏輯真理都可用他的公理系統證明──另一方面也證明了算術不完備定理(incompleteness theorem of arithmetic)──沒有一致的公理和推論規則可以證明所有數學真理,對邏輯主義投下一枚核彈。著名的「哥德爾定理」(Gödel’s theorem),指的正是後者。11

與此同時,邱奇(Alonzo Church 1903-1995)證明沒有機械式的演算法可以判斷述詞邏輯的每一個論證是否對確。

電腦的出現和發展,背後有不少觀念──如邏輯閘(logic gates)──與邏輯學有密切關連。著名的邏輯學家馮紐曼(John von Neumann 1903-1957)、圖靈(Alan Turing 1912-1954)、伯克斯(Arthur Burks 1915-2008)都曾協助設計電腦。由於電腦和邏輯的密切關連,當代修習邏輯的學部除了哲學和數學,還有計算機科學(computer science)。


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Photoshop大師講堂:拍出陳珊妮、唐鳳靈魂的獨特,專訪酷兒攝影師登曼波如何創作出獨特的風格影像

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我們想讓你知道的是

從現場美術出身的登曼波,擅長融合酷兒文化,營造出充滿故事性的影像風格。是怎麼樣的養分塑造出他現在的獨特色彩,讓他能夠找到被拍攝者不為人知的角度?他又如何透過Photoshop去實現獨樹一幟的細節?

無論是裸背綑縛的珊妮公主,還是化身鳳梨的唐鳳,任誰來到登曼波的鏡頭前,都能展現出最奇趣吸睛的一面。他拍明星名人,也拍主流視野外的酷兒族群與文化場景。這天我們前去拜訪登曼波,一窺他平時如何透過Photoshop創造出獨特影像風格。

 

用色彩撞破刻板分界,讓符號與畫面一起說故事

登曼波在成為攝影師之前從事的是電影與廣告美術,這些經歷都轉化成他影像創作上的養分。大學畢業後來到台北,加入電影劇組的美術組密集工作,在 Google Map 還不普及的 2000 年代,他拿著紙本地圖探索這座城市,因為參與《艋舺》與《一頁台北》的拍攝,踏遍萬華、中山一帶的巷弄尋找拍攝場景和道具。

「那個過程算是訓練我對影像的美感吧,像顏色的配置就會是我在決定拍攝時先思考的元素。」若曾看過登曼波攝影作品的人,肯定都會被那大膽的用色與場景建構的手法所驚艷,既衝突又合理。或許他試圖解構的正是顏色所象徵的刻板印象,賦予被攝對象最能凸顯其性格的顏色與情境。

離開電影產業後,進入廣告公司工作,讓曼波多了更多時間探索自己的創作,藉由 Photoshop 豐富的附加元件,嘗試多樣的濾鏡風格。他透過網路大量閱讀、研究各種視覺與音樂養分,也在線上平台分享自己拍攝的照片,因此結識不少創作者,其中包括莎士比亞的妹妹劇團團長王嘉明。在莎妹劇團的邀請下,曼波的攝影生涯從劇場開始,「我也把電影美術的訓練都放在裡面,讓符號跟畫面一起說故事。」

用影像魔術紀錄酷兒文化場景

2019 年拿下北美館主辦的台北美術首獎的《父親的錄影帶》,是曼波對自我生命經驗的探索與剖析,除了透過創作與自己的父親對話,了解彼此的不曾想見的樣貌,把這個過程帶到放到美術館,希望鼓舞更多酷兒表現自己,他也將酷兒們的身影置入流行文化的媒介中。曼波在工作上合作的對象來自非常多領域,時尚雜誌、表演藝術、流行音樂、電影等領域都能找到他的作品。

談到時裝拍攝的經驗,曼波形容「很像在變魔術」。攝影師不只是跟隨腳本,而是和編輯、造型等整個團隊一起做視覺方向的發想,「雖然會有產品的置入,但在追求製造最適合主題的『幻象』之下,其實有蠻大的發揮空間」,曼波談到他經常拍攝 LGBTQ 主題的雜誌封面,在這樣的工作氛圍裡很能讓他大膽地展現自己的風格。

在攝影師身份之外,登曼波也在 Pawnshop 放歌,在自己的生活圈內,製造一些事件。他與友人以 Pawnshop 為據點,建構、觀察台灣的酷兒文化場景,「我拍呂薔《找 Matched!》這支 MV,所有演員都是我在 Pawnshop 聚集的,包括幾位知名的變裝皇后。」

Photoshop 是創作時最不可或缺的工具

攝影師的工作除了前期的概念發想,拍攝現場精確執行拍攝計畫,後期的照片編輯也是非常關鍵的一步。Photoshop 一直是曼波在創作時必備的軟體工具,「我喜歡用底片拍攝,就算我用數位相機,我還是會用 Photoshop 把整體的色調整理在一個均值的底片質感。」儘管有愈來愈多影像處理軟體提供現成風格濾鏡,但仍沒有一個像 Photoshop 一樣可以滿足他追求獨特色調與質感的需求。

Photoshop 多年來一直是最強大的影像處理軟體,廣大設計師和攝影師們從學生時期就開始使用,陪伴所有創意人一路成長、突破,不斷推出的新功能也讓編修工作更加流暢。曼波也是從大學時期就接觸 Adobe 系列的軟體,「應該沒有攝影師不用Photoshop吧?」

Adobe 攝影計畫的 Photoshop 與 Lightroom 都是他在工作上不可或缺的工具,曼波也與我們分享自己後製工作的流程,通常是先在 Lightroom 做整批影像的統一調整 ,接著再進到 Photoshop 細部精修,「比如在商業案裡,照片中產品的顏色與實際顏色一致是非常重要的,我會用 PS 遮色片、色版等工具去調整產品那一塊的顏色,除了 Photohop 之外真的沒有其他軟體可以做到。」如何在保有自我風格的情況下不埋沒合作廠商的產品,是所有專業影像人都必須注意的事。

實現最初直覺的 Photoshop 祕技初公開

每次面對不同的拍攝委託或者展覽邀約,儘管是相當熟悉的合作對象、作品內容,登曼波仍會先深入理解對方的特質與需求,找到最獨特且最適合的色調搭配。不過創作中依然常有直覺的成分,在精密設計的工作流程中,不時的靈光顯得格外珍貴。談到具體實現腦中想法的方式,曼波首次公開分享了幾個他常用的 Photoshop 技巧。

Photoshop 教學一 風格調色:用漸層色製造正片負沖感

「首先把一張照片解鎖變成圖層,新增一個圖層變成色版來做色調處理。選顏色對我來說是很重要的環節,我會針對每一張照片的構圖、氛圍去決定色調。這是原本就是一張底片重複曝光的照片,我希望在不同層的曝光上呈現不同的色調變化。

我選擇兩個色版,再用漸層色將它拉開。漸層色最有趣的點是可以讓畫面中間是寫實的顏色,周圍呈現比較濃烈的配色,像正片負沖的感覺。色版的混合模式我通常會選擇『加深顏色』,然後調整透明度讓它更自然。」

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Photoshop 教學二 合成與色彩處理:用 Adobe Camera Raw 濾鏡調整出魔幻的疊影

「開啟兩張圖片適合疊影的照片,也先把它們解鎖成圖層放在同一個版面上。藉著用 Camera Raw 濾鏡個別調整照片的各個數值,讓細節更突出到自己滿意的狀態就完成了!」

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Photoshop 教學三 疊影濾鏡:用柔性橡皮擦擦出多重曝光效果

「最後我想分享用 Photoshop 製作多重曝光的效果。我先把同一張照片複製三個圖層,透明度都先降低到一半以下方便操作,接著拖曳圖層到不同的位置。我會反覆隱藏其中一個圖層,來確認它們的位置,調整到最喜歡的之後再將透明度調回來。

接下來使用 Photoshop 橡皮擦工具,記得選較低的透明度搭配霧面、柔性的筆觸才能夠擦出比較自然的效果。我通常會大面積擦,這樣比較快速也比較少瑕疵。這個技巧的重點是在擦的過程中要保留最底圖的視覺重點喔!」

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