測量視覺的極限（上）︰肉眼可見最暗淡的星星，到底有多亮？

人類的視覺系統對光線有多敏感？我們能感覺到最微弱的光有多弱？這是心理學一個古老的問題。最近發表的科學研究利用量子光學的最新科技，證實了我們的眼睛連一個光子都可以偵測得到。這個結論在心理學與神經科學上有許多理論上的重要性，不過我想對於有好奇心的一般人來說，這個結論的趣味之處，在於「光子」這個東西，通常要在物理課本裡才讀得到，這裡居然出現在心理學研究裡。我們趁這個機會回顧一下「光子」這個物理量，跟「亮度」這種感覺的關係。

「亮度」是一種可以量化的感覺嗎？

亮度是一種很直覺的感覺。大概沒有人會說不懂「甲比乙亮」是什麼意思。不過如果我請你用一個數字來表達你現在看到的東西有多亮，大部分的人應該不知道要從哪裡下手吧？「光度學」（photometry）是一門結合物理與心理學的領域，它定義了一整套表達亮度的系統。例如說「流明」（lumen）就是一個業界常用來標示產品亮度的光度學單位，電燈泡的包裝盒上就可以看得到，不過除了是要購買高檔電視或是投影機這種特殊場合以外，一般人不太注意這些資訊。由此可見在我們的日常生活裡，把「亮度」這種感覺量化，進而跟「光子的數目」連結在一起，不是很自然的事。

我最近做了一些計算，發現我們身邊不管是什麼光源，產生的光子量都是天文數字。例如說一個六十瓦的白熱燈泡，每秒產生的光子量大約是八千兆個（8×10¹⁸）。你要是瞪著電腦螢幕看，一個十二點大的英文字母，每秒大約放射兩億（2×10⁸）個光子到眼睛裡^[1]。我們在這種光子充足的世界裡，對亮度的差異並不是很敏感。例如說我可以感覺得到我的電腦螢幕比我的手機螢幕亮，不過到底亮了多少？是兩倍？三倍？還是十倍？實在是說不出來（用儀器測量出來的結果是兩倍）。根據直覺，我們好像不太確定亮度這種感覺是可以用數字表達的。

不過有一種人，在上千年前就發展出了量化亮度的方法。他們之所以在意亮度，是因為他們想看的東西很暗，幾乎是在視覺極限的邊緣。這些人是天文學家。

星體的亮度（星等）

記錄星星的亮度，在天文學裡是一個重要的課題。早在公元前一兩百年的古希臘時代，天文學家就把星星的亮度分為六等：夜空裡最亮的星星他們稱為一等星，最暗的稱為六等星，二等星比一等星暗一點，三等星比二等星暗一點…等等。這個稱為「星等」的系統，一直沿用到今日。一般人比較熟悉的星星，例如說天狼星（Sirius）、織女星（Vega）、參宿七（Rigel）、北極星（Polaris）這些很燦爛的星體，星等都小於二。美麗的M33星系常常被用來測驗眼力，它就暗到只有五等了。

這個星等系統聽起來有點籠統，而且靠得是有主觀成分的目測法。古希臘的天文學家既不懂光學，又不懂視覺，更不懂星星，他們發明的這個度量法，真的有科學價值嗎？真的能幫助我們理解天體的結構嗎？要回答這個問題，我們需要的是一種方法，可以客觀的測量不同星等的亮度。19世紀中期的科學家發現光線可以轉換成電流，因此漸漸發展出了用電流或是電位差來度量光線強度的方法。不過在這些科技還沒有普及之前，天文學家就已經發明了一種比較精密的目測法，可以量化星光的亮度。

ㄟ …目測法不是很主觀嗎？怎麼能客觀的量化亮度呢？關鍵在於我們靠著直覺，雖然很難回答一個光源比起另外一個光源亮了多少，不過要判斷它們是不是一樣亮，就容易得多。因此，我們可以利用稜鏡，把兩個星星的星光投射到同一個目鏡上，讓它們並列，方便比對。然後我們可以調整其中一個星光的亮度，直到兩個星光看起來一樣亮為止。要調整星光亮度，可以在目鏡之前插入不同厚度的濾光紙，另一種方法是在目鏡前放一個透鏡，只要調整目鏡與透鏡之間的距離，就可以修改星光在目鏡上的亮度。這個距離，就是一個客觀的物理量，可以表達光的強度。

星等背後的數學規律

在1836年，德國物理學家Carl von Steinheil用這種方法比較不同星等的星光強度，他發現天文學家的觀察力真的是滿厲害的，星等這種古老而且看似主觀的目測法，背後其實有一個數學規律，靠著這個規律，可以從星等推論出星光的強度^[2]。

Steinheil發現二等星星光的強度（光線的能量或是光子數量），是一等星星光強度的40%、三等星星光的強度，是二等星星光強度的40%、四等星星光的強度，又是三等星星光強度的40%……這種等比關係，可以寫成m₁-m₂ = -2.5×log(I₁/I₂)，這裡m₁跟m₂是兩個星星的星等，I₁及I₂是它們星光的強度，log是以10為底的對數函數。這個簡單的公式，把左手邊的心理學跟右手邊的物理學巧妙地連結了起來。下一節我們將要用這個公式，推算不同星等的星光，發散到眼睛裡的光子數目。

這個研究當然不是說天文學家有超出一般人觀察力。它真正重要的洞見，是指出我們對於亮度的主觀感覺可以量化，而且它跟光的物理強度有直接的關係。幾十年後（1860 年），心理學家Gustav Fechner與Ernst Weber把這個想法發揚光大，用實驗方法有系統地研究知覺（視覺、聽覺、觸覺等等）與物理量的關係，因而建立了現代心理物理學（psychophysics）的基礎。

用星體的亮度估計視覺的極限