圖靈機正式面世80年︰「離地」研究為人類帶來了電腦

圖靈機正式面世80年︰「離地」研究為人類帶來了電腦

我們想讓你知道的是

80年前,圖靈發表〈論可計算數及其在判定問題上的一個應用〉,對電腦發展影響深遠。

這些看似非常簡陋的圖靈機其實可以做非常多事情,圖靈在論文中舉了兩個圖靈機作例子︰一個可以在紙帶上不斷印出「01010101….」,另一個可以印出「001011011101111...」。事實上,我們也能設計出會進行加法、減法、乘法、除法、比較兩個數字大小…的圖靈機(在圖靈機中,數字可用符號「1」的數量來表示,例如用「111」代表3、「1111111」代表7,數字與數字之間則用符號「0」去分隔)。

通用圖靈機

圖靈的〈論可計算數〉沒有在此打住,正如上文所述,一部圖靈機的指令集可以抽述了它如何運作,因此圖靈就想到把圖靈機(的指令集)編碼,換言之,用不同的數字就可以表述不同的圖靈機——就這樣,每個圖靈機都獲得一個標準編號。

下一步,圖靈構造了一部特別的圖靈機,稱為「通用圖靈機」。通用圖靈機可以「扮演」不同的圖靈機——只要輸入某部圖靈機M的標準編號,它就可以像M一樣印出相同的符號序列。

如果上面的句子太過抽象,不妨換個(靈異一點的)說法︰有了通用圖靈機以後,理論上我們不再需要製造其他圖靈機——因為其他圖靈機都可以由「硬件」變成「軟件」,「附上」通用圖靈機來運作。

對,那就是為何我們打開手機、電腦上的計算數件,便能夠使用計數機的功能——現代電腦某程度上是一部通用圖靈機(當然,電腦沒有無限長的紙帶)。通用圖靈機成為現代電腦的理論模型,圖靈這篇論文也奠定了電腦科學、可計算性理論(computability theory)等學科的基礎。

當然,由紙上理論代為現實,中間還有一大段歷史發展,圖靈亦有參與,在此先行略過。(停機問題也是〈論可計算〉的重要結果,篇幅所限同樣略過。)

丘奇—圖靈論題

在圖靈之前,數學家——特別是關心數理邏輯的數學家——已經在思考如何嚴格定義「機械程序」或者「演算法」,因為缺乏這個定義的話,界定「形式系統」時會出現一個問題︰怎樣的符號變換規則可以接受?

哥德爾(Kurt Gödel)在1931年證明其著名的不完備定理時,引入了(原始)遞歸函數的概念,以便從數學角度討論形式系統,其後他跟英年早逝的埃爾布朗(Jacques Herbrand)將之發展成廣義遞歸函數。但要直到圖靈的論文面世後,哥德爾才認為人們能「精確及毫無疑問充足」地定義形式系統。

文首提到比圖靈稍早解決判定問題的丘奇,在他1936年的論文中使用了λ演算(λ-calculus)去地義何謂「λ可計算函數」。而對於任何(以自然數為定義域的)函數f(x),如果存在一部可以順序印出f(0), f(1), f(2)…的圖靈機,那麼這個函數就稱為「圖靈可計算函數」。

丘奇和圖靈證明了這三種函數——廣義遞歸函數、λ可計算函數及圖靈可計算函數——等價,換言之,雖然它們有非常不同的定義,但實際上還是一樣。〈論可計算數〉發表以後,也有各種計算模型出現,但沒有一個能夠超越圖靈機——它們所定義的函數,都是可以用圖靈機(或λ演算、廣義遞歸函數)去定義。

丘奇及圖靈認為,任何可以計算的函數,都是λ可計算/圖靈可計算函數,這稱為「丘奇—圖靈論題」。他們把「可以計算的函數」這個直觀概念,跟數學上有嚴格定義的「λ可計算/圖靈可計算函數」劃上等號,由於論題涉及直觀概念,本身無法以數學證明。

根據理論電腦科學這80年來的發展,丘奇—圖靈論題幾乎無人質疑︰即使電腦速度突飛猛進,能夠完成各種以往無法想像的任務,現實中我們仍然未能找到一個超越圖靈機的計算模型(理論上倒有一些,但不包括現時的量子電腦模型)。

未來發展會怎樣?不知道,可能他日人工智能的數學家、邏輯學家會發現到一個超越圖靈機的計算模型——而我們無法理解?或者明天就有人發現了?(當然我認為這極不可能。)

沒有〈論可計算數〉,我們也許還有「電腦」可用,但那些「電腦」應會截然不同,發展也慢得多。在圖靈機面世80年的今日,我只想介紹這個非常「離地」卻對人類歷史有深刻影響的故事。

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