「無限小」的故事：一個危險的數學理論，形塑了現今的世界

我是數學白痴，真的。很多人以為唸理科的數學一定很好，才怪。

因為我數學不好，所以才選擇唸生命科學，只是唸了才發現，原來還是要面對不少數學，如生物統計、計算生物學、生態學、族群遺傳學、分子演化，都用了不少數學，更甭提大一大二還得要上的微積分、物理和物理化學。

最近有部電影《天才無限家》（The Man Who Knew Infinity），很值得看，連一個我超愛的說書脫口秀節目《一千零一夜》主持梁文道這位文人（請參見〈一千零一夜個經典〉），也在推薦了這部關於印度天才數學家斯里尼瓦瑟‧拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）的電影，也談了《費馬最後定理》（Fermat’s Last Theorem）這本書，以及數學是什麼。

我就自不量力，來談本和數學有關的歷史書吧，就是這本《無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界》（Infinitesimal：How a Dangerous Mathematic Theory Shaped the Modern World）。即使是外行，還是會覺得數學是極為優雅的，可是歷史學家與數學家艾米爾．亞歷山大（Amir Alexander），卻要告訴我們，數學也有過混亂，中間涉及的不僅只有數學家，還有宗教家。

《無限小》的故事，主要是發生在16、17世紀，爭論的是直線、平面圖形和固體，是否由無限的不可分量所構成？《無限小》中的各種爭論，要追溯到古希臘時期。公元前六世紀，畢達哥拉斯（Πυθαγόρας，約前580－前500）和追隨者，認為數學可以解釋世界上的一切事物，對數字癡迷到幾近崇拜，同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。從他開始，希臘哲學開始產生了數學的傳統。

相傳無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯（Ἵππασος）發現。他以幾何方法證明√2，無法用整數及分數表示，並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。希帕索斯發現不可公度量（incommensurability），推論不同的量（magnitube）不是由獨立的微小原子，亦即無限小所構成。畢達哥拉斯派同道將其淹死滅口，然後他就死掉了。所以這批人，玩數學是超認真的，會鬧出人命的。

公元前5世紀，來自古希臘愛琴海北部海岸的自然派哲學家德謨克利特（Δημόκριτος，前460—前370或前356）利用無限小，計算圓錐體與圓筒體的體積。然而，伊利亞的芝諾（Ζήνων，約前490－前430），提出幾個矛盾問題，指出無限小引發的衝突，從此無限小遭到古代數學家規避。

古希臘數學家，被稱為「幾何學之父」，亞歷山卓的歐幾里得（Ευκλειδης，前325—前265），在經典巨著《幾何原本》（Elements）中，謹慎地避開無限小。《幾何原本》一直是西方兩千年來的範本。但後來的古希臘數學家阿基米德（Αρχιμήδης，公元前287—公元前212），卻用無限小實驗，在幾何圖形的面積和體積上卓有成就。

後來希臘被羅馬滅了，而羅馬因異族入侵和宗教愚昧而進入中世紀。《無限小》的故事開場，是文藝復興時的宗教戰爭。

1517年，德國基督教神學家，宗教改革運動的主要發起人，基督教新教信義宗教會（即路德宗）的開創者馬丁・路德（Martin Luther，1483－1546）在當地教會的門上貼出布告九十五條論綱，列出反對贖罪券的九十五條論點，徵求學術的辯論，拉開了天主教和新教長達兩世紀鬥爭的序幕。

1540年，耶穌會（Societas Iesu）創建在一個天主教開始沒落的時代，羅耀拉的依納爵（San Ignacio de Loyola，1491－1556）和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。

耶穌會的教育體系中，原本並不特別注重數學，但在克拉維烏斯神父（Christopher Clavius，1538－1612）持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾里得數學理論為主。

1544年，阿基米德作品的拉丁文版在瑞士巴賽爾出版，學者接觸到他對無限小的研究。16世紀末至17世紀初，歐洲數學家對無限小的興趣死灰復燃。

然而，耶穌會中負責裁決理論的「總校訂」（Revisors General）室，發表了一連串針對無限小的公開譴責。他們認為這個概念危險又具顛覆性，對世界是一個有秩序的地方，而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小，耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。

伽利略提出新詮釋，被送進宗教審判所

虔誠的教徒伽利略（Galileo Galilei，1564－1642），也是當時最偉大的科學家。他提出對無限小、不可分量的詮釋，槓上了耶穌會和教廷。伽利略的老友當上教宗烏爾班八世（Pope Urban VIII，1568－1644），他公開支持伽利略及其追隨者，1623－31年是伽利略在羅馬如魚得水的自由時期。然而1631年，瑞典新教國王古斯塔夫•阿道夫二世（Gustav II Adolf，1594－1632），與神聖羅馬帝國相爭開戰，節節獲勝，改變了歐洲勢力平衡。