「無限小」的故事:一個危險的數學理論,形塑了現今的世界

「無限小」的故事:一個危險的數學理論,形塑了現今的世界
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我們想讓你知道的是

我還是讀不懂《無限小》裡的數學,可是《無限小》仍是本很具啟發性的好書。

我是數學白痴,真的。很多人以為唸理科的數學一定很好,才怪。

因為我數學不好,所以才選擇唸生命科學,只是唸了才發現,原來還是要面對不少數學,如生物統計、計算生物學、生態學、族群遺傳學、分子演化,都用了不少數學,更甭提大一大二還得要上的微積分、物理和物理化學。

最近有部電影《數造傳奇》(The Man Who Knew Infinity),很值得看,連一個我超愛的說書脫口秀節目《一千零一夜》主持梁文道這位文人(請參見〈一千零一夜個經典〉),也在推薦了這部關於印度天才數學家斯里尼瓦瑟‧拉馬努金(Srinivasa Ramanujan, 1887-1920)的電影,也談了《費馬最後定理》(Fermat’s Last Theorem)這本書,以及數學是什麼。

我就自不量力,來談本和數學有關的歷史書吧,就是這本《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》(Infinitesimal:How a Dangerous Mathematic Theory Shaped the Modern World)。即使是外行,還是會覺得數學是極為優雅的,可是歷史學家與數學家艾米爾.亞歷山大(Amir Alexander),卻要告訴我們,數學也有過混亂,中間涉及的不僅只有數學家,還有宗教家。

無限小的故事

《無限小》的故事,主要是發生在16、17世紀,爭論的是直線、平面圖形和固體,是否由無限的不可分量所構成?《無限小》中的各種爭論,要追溯到古希臘時期。公元前六世紀,畢達哥拉斯(Πυθαγόρας,約公元前580-公元前500)和追隨者,認為數學可以解釋世界上的一切事物,對數字癡迷到幾近崇拜,同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。從他開始,希臘哲學開始產生了數學的傳統。

相傳無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯(Ἵππασος)發現。他以幾何方法證明√2,無法用整數及分數表示,並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。希帕索斯發現不可公度量(incommensurability),推論不同的量(magnitube)不是由獨立的微小原子,亦即無限小所構成。畢達哥拉斯派同道將其淹死滅口,然後他就死掉了。所以這批人,玩數學是超認真的,會鬧出人命的。

公元前5世紀,來自古希臘愛琴海北部海岸的自然派哲學家德謨克利特(Δημόκριτος,公元前460-公元前370/356)利用無限小,計算圓錐體與圓筒體的體積。然而,伊利亞的芝諾(Ζήνων,約公元前490-公元前430),提出幾個矛盾問題,指出無限小引發的衝突,從此無限小遭到古代數學家規避。

古希臘數學家,被稱為「幾何學之父」,亞歷山卓的歐幾里得(Ευκλειδης,公元前325-公元前265),在經典巨著《幾何原本》(Elements)中,謹慎地避開無限小。《幾何原本》一直是西方兩千年來的範本。但後來的古希臘數學家阿基米德(Αρχιμήδης,公元前287—公元前212),卻用無限小實驗,在幾何圖形的面積和體積上卓有成就。

後來希臘被羅馬滅了,而羅馬因異族入侵和宗教愚昧而進入中世紀。《無限小》的故事開場,是文藝復興時的宗教戰爭。

1517年,德國基督教神學家,宗教改革運動的主要發起人,基督教新教信義宗教會(即路德宗)的開創者馬丁・路德(Martin Luther, 1483-1546)在當地教會的門上貼出布告九十五條論綱,列出反對贖罪券的九十五條論點,徵求學術的辯論,拉開了天主教和新教長達兩世紀鬥爭的序幕。

1540年,耶穌會(Societas Iesu)創建在一個天主教開始沒落的時代,羅耀拉的依納爵(San Ignacio de Loyola, 1491-1556)和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動,但其中最耀眼的成就,卻是在各地區建立的教育學院。

耶穌會的教育體系中,原本並不特別注重數學,但在克拉維烏斯神父(Christopher Clavius, 1538-1612)持續努力下,終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學,因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科,但這時的數學,仍以歐幾里得數學理論為主。

1544年,阿基米德作品的拉丁文版在瑞士巴賽爾出版,學者接觸到他對無限小的研究。16世紀末至17世紀初,歐洲數學家對無限小的興趣死灰復燃。

然而,耶穌會中負責裁決理論的「總校訂」(Revisors General)室,發表了一連串針對無限小的公開譴責。他們認為這個概念危險又具顛覆性,對世界是一個有秩序的地方,而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小,耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。

伽利略提出新詮釋,被送進宗教審判所

虔誠的教徒伽利略(Galileo Galilei, 1564-1642),也是當時最偉大的科學家。他提出對無限小、不可分量的詮釋,槓上了耶穌會和教廷。伽利略的老友當上教宗烏爾班八世(Pope Urban VIII, 1568-1644),他公開支持伽利略及其追隨者, 1623-31年是伽利略在羅馬如魚得水的自由時期。然而1631年,瑞典新教國王古斯塔夫•阿道夫二世(Gustav II Adolf, 1594-1632),與神聖羅馬帝國相爭開戰,節節獲勝,改變了歐洲勢力平衡。

在傳統主義者的節節進逼之下,烏爾班八世一改初衷,不再支持伽利略。耶穌會總校訂室,禁止了無限小的概念,宣布永遠不能教授這個理論,甚至連提都不准提。伽利略最終被送進宗教審判所,人生最後十幾年都在軟禁中度過。

伽利略的弟子卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598-1647)與托里切利(Evangelista Torricelli, 1608-1647)持續提出不可分量和無限小的理論證明,更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心,耶穌會和支持伽利略的銳眼學會(Accademia dei Lincei)之間,為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方式而開戰。

支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家,與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團,雙方舌戰和筆戰不休。表面上是數學論戰,實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。《無限小》揭示了這種禁令背後的深刻背景,通過耶穌會和銳眼學會之間交戰的驚心動魄故事,說明耶穌會如何拼命努力帶領飽受戰爭蹂躪的歐洲回到維穩和諧和天主教專制秩序,可是卻犠牲了義大利的藝術、數學和科學發展。

由於耶穌會成功地禁止在義大利的教授無窮小,《無限小》的故事舞台,轉到原本比義大利落後的英國去。《無限小》指出,在義大利,無限小的挫敗預告了這個國家主導歐洲文化的朝代已經結束;而在英國,無限小的勝利則幫助了這個原本落後的島國走向了世界首個現代國家之路。

英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂,令卡文迪許家族的家臣,威權主義的十七世紀的哲學家霍布斯(Thomas Hobbes, 1588-1679),寫下哲學傑作《巨靈論》(Leviathan,又譯作《利維坦》),是法律、秩序的有力倡導者。和天主教神權專制不同的,霍布斯的解決空位無政府狀態的方法,是要人民交出權力給專制君主,來保護他們免受戰爭和混亂。但與天主教的專制相同的,霍布斯的目標是維穩和諧以維護和平。無論霍布斯和耶穌會,都把自己的政治理想訴諸歐幾里得幾何,試圖以其有序的演繹證明產生絕對真理。

但在數學家瓦里斯(John Wallis, 1616-1703)的眼中,數學毫無貴族氣息,徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。瓦里斯是第一個使用∞這個符號的數學家。也因如此,他和「隱形大學」的夥伴使用數學的方式與霍布斯大相逕庭。「隱形大學」後來收到英王查理二世的許可狀,成為聲譽卓越非凡的「皇家學會」(Royal Society)。

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《無限小》指出,歸納法和實驗數學,讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上,無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。英國邁上君主立憲之途,各種科學研究和科技也不斷開花結果,於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

牛頓(Sir Isaac Newton, 1643-1727)以無限小的理論做實驗,發展出微積分的技法,和萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)共同創立了微積分。牛頓出版了《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica),徹底改變了物理學的樣貌,也從此讓所有理科生飽受微積分的折磨。剛讀《無限小》時,我壓根兒忘光了微積分和無限小的關係,只有讀到後來才依稀想起老師提到的「極限」等等。

雖然,我還是讀不懂《無限小》裡的數學,可是《無限小》仍是本很具啟發性的好書,從中可見我們人類在認識自然時,那些偏見與固執是何等強大。政治師和宗教為了維穩及和諧干預學術發展,只能取得一時的和平,然後換來長久的落後。還有,科學的發展中,常常是柳暗花明又一村,保持一個開闊的心胸是多麼重要,卻又是多麼困難。

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本文獲The Sky of Gene授權轉載,原文發表於此

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責任編輯:李牧宜
核稿編輯:翁世航


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我們想讓你知道的是

「透過影像為環境發聲」是齊柏林畢生在做的事,也是看見・齊柏林基金會要接力做下去的事。打造一座把台灣存起來的影像資料庫,讓齊柏林留下的影像資產得以傳承世代,「數位典藏」計畫需要你我一同支持響應。

2017年,《看見台灣》的導演齊柏林匆匆離開這個世界,留下無數珍貴空拍影像資產;這些跨越1990年代到2017年、長達25年台灣自然與人文地景變遷的真實紀錄,不只保留了台灣之美,更在學術研究、環保倡議和環境教育上有著無可取代的價值。然而,龐大的影像素材需要經過「數位典藏」才能被有效應用,因此「看見・齊柏林基金會」成立的初衷,就是為了承接數位典藏的使命,讓齊導畢生的心血,能夠世代傳承,發揮永續的影響力。經過兩年的摸索,基金會最終研擬出最合適的數位典藏計畫,不只將齊導作品數位化、分類歸檔,更要建置線上影像資料庫,並將繼續記錄台灣的使命傳承下去。

根據看見・齊柏林基金會統計,齊柏林導演在空中拍攝超過2500小時所累積的影像,約為10萬張空拍底片、50萬張數位照片,上千小時的空拍影片;要為如此龐大的影像資料建檔與整理,勢必耗費許多金錢、時間與人力。不過,只要能集結眾人之力,這一場數位典藏人員及專業志工接力的馬拉松,將會是美麗而撼動人心的一段旅程。

「數位典藏」做什麼?

數位典藏(digital archive),意思是將有保存價值的實體或非實體資料,透過數位化(諸如攝影、掃描、影音拍攝、全文輸入等)與加上屬性資料等詮釋資料(Metadata),建立數位檔案的形式,作為永久保管儲存。

而看見・齊柏林基金會的數位典藏計畫可分為三大工作線,分別為:

  • 傳統底片組:挑選底片→掃描成數位檔案→建立屬性資料→歸檔
  • 數位照片組:挑選照片→建立屬性資料→歸檔
  • 空拍影片組:挑選影片→建立屬性資料→歸檔

除了要將齊導留下來的影像作品數位化歸檔,數位典藏計畫還包括改版建置「iTaiwan8影像資料庫」,也就是建設完整的線上影像資料庫系統,讓齊導作品更便於靈活運用,也能讓更多世人看見。

飛行2500小時累積的空拍影像,怎麼整理?

  • 整理底片/數位掃描

數位典藏組專員詹宇雯的工作,是負責整理傳統底片。即便存放在防潮櫃中,傳統底片仍面臨逐漸老化褪色的壓力,需要與時間賽跑進行數位化保存;然而大多未經篩選的10萬張底片,有些因為直升機震動導致些微的畫面模糊,也有因飛行路線連續較重複的地景構圖,而詹宇雯的其中一項任務,就是拿著放大鏡一一檢視精挑,並標註定位和勘誤照片資訊。

「整理底片最常發生的問題就是人工出錯,因為以前留下的資料可能是齊導或其他志工整理出來、用手寫的,貼紙可能貼錯或資料寫錯。」詹宇雯說起某次經驗,當時有一張台北車站的照片被貼了很多年份,為了找出正確年份,她試圖辨識照片裡招牌跑馬燈上的氣溫、股市市值等資料,交叉比對推斷出正確年份。雖然偶有這種偵探辦案一樣的趣事,但大多數時候是耗費專注度與眼力的過程。

完成底片挑選的階段,接著進到底片掃描數位化。然而,這步驟並不容易,除了整體的影像品質控制與檔案管理,齊柏林導演留下的底片最遠距今至少11年,老化褪色的底片容易出現色彩偏誤,須進行色彩還原,再修掉畫面上的髒點、存成解析度高的數位影像才算完成。

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整理傳統底片的過程,必須拿著放大鏡一一檢視精挑,標註定位和勘誤照片資訊。
  • 建立屬性資料

所謂「建立屬性資料」,其實就是為影像添增各種描述紀錄的資訊,有了這些資訊,龐大的影像資料才能被有效率的搜尋、管理。數位典藏組副組長陳宣穎表示,以齊導拍攝的影像為例,包含:拍攝主題、地點及詮釋地景的關鍵字都屬於此範疇;而其中投入最多時間的便是「定位」和「建立關鍵字」這兩項任務。

「定位」指的是找出拍攝主體所在地點和座標,有時可透過既有的飛行軌跡紀錄來推測,但更多時候是在沒有軌跡紀錄的狀態下,憑藉地理知識及照片上的蛛絲馬跡判讀位置。如果影像拍攝年代久遠,或是地景變化很大,就需要運用更多歷史圖資或佐證資料去搜索、推論。

「我們要一張一張照片判讀,建立屬性資料。像是早期的傳統相機沒有定位功能,常常看到照片中只有一大片山稜線,此時我們就要仔細比對地圖、衛星影像,想辦法查找,盡可能貼近正確。」陳宣穎說。

「建立關鍵字」看起來似乎相對輕鬆,然而事實上,光是決定有哪些關鍵字可以使用,就是一門功夫。第一步必須辨認影像中的景物,例如一塊農田種植的是什麼作物,就必須蒐集其他資料輔助判斷;其次,由於空拍照片尺度不一,在畫面中佔比多大的景物需要設立關鍵字,也需要經過討論訂定規則;最後,還必須從使用者的角度思考,依據一般人的搜尋習慣設立關鍵字。

因此,在建立屬性資料的過程中,看見・齊柏林基金會也特別諮詢多位專家,共同研究規劃出適合台灣空中影像的關鍵字建置邏輯,並以此基礎進行分門別類、校正檢核,確保影像被妥善歸納及運用。

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建立屬性資料時需要大量對比地圖,並依照訂定好的規則建立屬性資料,使歸納邏輯一致。
  • 影音資料典藏

相較於照片整理,動態影片的典藏工程更為多元複雜。首先,要針對近千小時空拍影片進行盤點,接著進行特殊格式轉檔與備份,再逐步建立邏輯編碼、標示檔案管理方式,以推動後續屬性資料建立。

「影片整理最大的兩個挑戰,其一是影片內容橫跨的範圍很大,導演可能是台中起飛、屏東降落,因此要去判斷每個影片節點的地景定位;其二是飛機上升的垂直範圍很大、晃動又劇烈,有時候會遇到『果凍效應1』致使內容失真。」影音製作組專員鄭宇程說明,由於各時期的影片拍帶檔案格式、影像內容品質、影片時長都不同,大大增加了管理建檔難度。

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Photo Credit:TNL Brand Studio
影音資料的典藏,需要讀取大量的檔案,逐格檢視、分段建立屬性資料、調色等。

加入數位典藏的馬拉松,傳承接棒台灣之美

從一步步定義操作流程、統一色彩管理語言、購置影像處理設備等,到培訓志工與實習生、讓人力支援一步到位、避免巨量資料的協作過程中出現錯誤,都是數位典藏計畫的範疇。多元內容創意部副總監王俐文表示,「數位典藏」四個字說來簡單,但過程繁複龐雜,需要所有人一致的專注、耐心、細心、以及熱忱。

「iTaiwan8影像資料庫」作為看見・齊柏林基金會數位典藏計畫的目標之一,改版上線只是第一步,接下來除了完成龐大影像資料的典藏,更大的挑戰是要繼續記錄台灣,讓影像不會只停留在2017年。

「透過影像為環境發聲」是齊導畢生在做的事,也是基金會要接力做下去的事。而數位典藏計畫,就是齊導生命的延續,也是基金會動力的源頭。要打造一座把台灣存起來的影像資料庫並不容易,看見・齊柏林基金會亟需各界的支持,共同建置屬於台灣最美的影像資料庫。讓我們一起守護齊柏林留下的影像資產,讓土地脈動的珍貴影像得以傳承世代,發揮更多價值。

捐款支持看見・齊柏林基金會,透過影像為環境發聲


註1:果凍效應(rolling shutter)是數位相機CMOS感光元件的一種效應,當使用電子快門來拍攝高速移動的物件時,原本垂直的物件拍攝出的畫面卻為傾斜甚至變形。(資料來源:維基百科)


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