我們知道圓周率π「無理」和「超越」,但它是不是「正規」?

我們知道圓周率π「無理」和「超越」,但它是不是「正規」?
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我們想讓你知道的是

在「圓周率日」,不妨了解一下數學家計算π的歷史。

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今天——3月14日——是「圓周率日」(Pi Day),因為圓周率π的數值大約是3.14。

最早有記錄的圓周率日大型慶祝,源自1988年三藩市的探索科學博物館(Exploratorium),由物理學家Larry Shaw跟該館員工及公眾圍繞館內圓形空間巡遊,然後一起吃果批(pie與pi同音)。探索科學博物館至今繼續每年慶祝圓周率日。2009年3月12日,美國眾議院通過無約束力決議,把當年的3月14日訂為「全國圓周率日」。

古代數學家的努力

圓周率π的定義非常簡單,相信大多數人在小學已經學過,就是「圓周與直徑的比率」,但要把它寫成數字並非易事。

古巴比倫及古希臘人在公元前千多年,已分別算出π的數值大約是25/8(3.125)及256/81(約3.1605)——當然誤差甚多。公元前約250年,古希臘數學家阿基米德(Archimedes)透過計算多邊形周界來估算圓周率,他計算出π介乎在223/71至22/7之間,22/7這個分數亦成為其中一個常用的圓周率近似值。

對於以往的數學家及科學家,計算圓周率的數值一直是項挑戰。中國數學家祖沖之在公元480年左右利用劉徽的割圓術,算出圓周率至小數點後第7個位,在其後800年內仍然是最準確的近似值。他亦發現π的近似值可以寫成分數355/113,乃分母小於16600的分數之中,最接近圓周率的一個。

無限不循環的π

雖然上文一直以分數來表達圓周率的近似值,然而在1761年,瑞士數學家林伯特(Johann Heinrich Lambert)證明了π是個無理數,也就是說,π不能寫成兩個整數的比例。由於所有由整數構成的分數,都可以寫成有限小數(如1/2)或者循環小數(如1/3),因此π只能是個無限不循環小數。

不過,有些數字就算是無理數,也可以是一些簡單方程式的解,例如√2(2的平方根)是個無理數,同時是方程式 x2 = 2 的其中一個答案。這類可以寫成「整系數多項式」——如 3x2+5x-7、-6x3+7x——的根的數字,就稱為代數數(algebraic number)。

如果π是個代數數,那麼我們就可以找到一條只有整數、加數、乘數和乘冪(整數次方)組成的方程式,其中一個答案會是π——這樣我們不用無限個數字,就能夠準確描述到π。可惜在1882年,德國數學家林德曼(Ferdinand von Lindemann)證明了π是個「超越數」(transcendental number)——即不是代數數的數字。

突飛猛進

20世紀中期,當電腦誕生以後,數學家開始以電腦計算π的數值,從這時開始準確度就迅速增加,由原本幾百個小數位增至數千個,1958年達至1萬個小數位,1961年變成10萬,1973年已去到100萬。

隨着電腦速度以幾何級數增加,算出來的圓周率小數位也越來越多,目前的紀錄已經算至小數點後22,459,157,718,361個位(超過22兆)[1]。這位紀錄保持者使用的電腦配置多達4個18核心處理器、1.25TB記憶體,仍然使用了105天來運算,得出的數據接近9TB。[2]

現時計算π的那麼多個小數位,作用是測試電腦效能居多,雖然π在其他學科也有用途,不過就算要計算可觀測宇宙的大小,其實我們只需要39個小數位已經非常足夠——誤差值在1個氫原子的大小之內。詳細內容可以看這段影片介紹︰

「雜亂無章」的π?

數學家知道了π是個超越數,可是仍然不知道它是否「正規數」(normal number)——這是由法國數學家博來爾(Émile Borel)在1909年提出的概念,粗略來說,一個10進制正規數的特徵是,其小數部份不但每個數字(0至9)出現頻率均等,而且任何長度的數字串出現的頻率,就跟隨機抽中的機率一樣[3]。例如「0」出現的頻率應是10%,「689」出現的頻率則應是0.1%。

如果一個實數a對於任何n而言,以n進制表示時都是一個n進制正規數,那a就是一個正規數。π的小數部分數字看來雜亂無章,也許是個10進制正規數——不過數學界至今未有證明。

有分析顯示,在π小數點後近3千萬個位當中,數字分佈都非常均勻,未有發現任何異常。[4]計算圓周率的數值另一個用途,也許就是讓數學家檢視一下這些數字串的分佈,看看跟「π是正規數」這個假設的預測是否吻合。在有數學家提出證明之前,就先讓電腦計算出更多數位,看看有沒有異常情況。

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註︰

  1. 這其實是πe×1012
  2. Download One Trillion Digits of Pi
  3. 嚴格定義可參考《維基百科》
  4. The Computation of π to 29,360,000 Decimal Digits Using Borweins' Quartically Convergent Algorithm (David Baily 1987)