數學是一種「發明」還是「發現」?

數學是一種「發明」還是「發現」?
圖靈當年為破解納粹德軍密碼而建造的機器(重建版本)。Photo Credit: Alessia Pierdomenico / REUTERS / 達志影像
我們想讓你知道的是

在各領域都如此有用的數學,是人類發明的工具?還是人類發現的寶藏?

唸給你聽
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撰文:利維歐(Mario Livio)
翻譯:翁秉仁

重點提要

  • 最深刻的謎團往往存在於我們最習以為常的事物。大多數人從不曾細思科學家為何用數學來描述並解釋世界,但究竟為何如此?
  • 數學概念的發展雖然純粹是基於抽象的理由,卻能解釋真實現象。正如物理學家魏格納所言,如此好用的數學「是我們既不能理解也不配擁有的美好禮物。」
  • 謎團之一是:數學是發明(人類心智的創造)還是發現(獨立於我們的存在物)?作者認為兩者皆是。

大多數人認為數學有用是理所當然,像是科學家以數學公式來描述次原子事件、工程師用數學計算太空船的路徑。我們接受最先由伽利略倡議的觀點:數學是科學的語言,其文法可以解釋實驗結果,甚至預測奇特的現象。

數學驚人的威力處處可見,譬如蘇格蘭物理學家馬克士威(James Clark Maxwell)的著名方程組,他的四個算式不只總結了1860年代所有已知的電磁現象,並且預示了無線電波的存在,比德國物理學家赫茲(Heinrich Hertz)偵測到它還早了20年。

極少語言這麼有效率,能將具有價值的眾多材料,如此簡潔、精確又清楚地表達出來。愛因斯坦曾反思說:「數學做為人類思想的產物,獨立於經驗之外,怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫?」

身為一位理論天文物理學家,我在每一個工作環節都會遇到「數學不合理的有效性」(unreasonable effectiveness of mathematics),這是1960年諾貝爾物理獎得主魏格納(Eugene Wigner)的用語。不論我是在研究哪些前身恆星系統會爆炸成Ia型超新星,或者計算太陽最終變成紅巨星時地球的命運,我所使用的工具或發展的模型都是數學。數學掌握自然世界的不可思議特質,讓我始終著迷。在10年前,我對這個課題有了更深刻的想法。

數學家、物理學家、哲學家、認知科學家,早已為這個謎團的核心議題,爭論了數百年。數學到底是如愛因斯坦所相信的,是一組發明出來的工具?還是數學確實存在於某個抽象的場域,而我們只是發現其中的真理?許多著名數學家,包括希爾伯特(David Hilbert)、康托(Georg Cantor),還有暱稱為布爾巴基(Bourbaki)的一群數學家,他們相信愛因斯坦的看法,相關的思想學派稱為形式主義(Formalism)。但是另一群傑出的思想家,包括哈地(Godfrey Harold Hardy)、彭羅斯(Roger Penrose)、哥德爾(Kurt Godel)則持對立的看法,這個思想學派稱為柏拉圖主義(Platonism)

這項數學本質的爭論延續至今,似乎仍然很難解答。不過我相信,這是因為我們過度簡單的二分法提問「數學是發現還是發明?」,反而忽略了比較複雜的可能性:發明和發現都扮演了重要的角色。我認為兩者合起來才能解釋數學為什麼這麼有用。雖然消除發明與發現的對立性,並不能全然解釋數學不合理的有效性,但針對這個影響深遠的問題,即使是不完整的一小步,仍算有所進展。

本文獲《科學人雜誌》、《科學人粉絲團》授權刊登,原文刊載於此

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責任編輯:朱家儀
核稿編輯:楊之瑜