數學家利用VR技術,讓你探索「另類空間」

數學家利用VR技術,讓你探索「另類空間」
eleVR影片截圖
我們想讓你知道的是

VR技術不只用來玩遊戲,更可以探索奇異的幾何空間、學習數學。

虛擬實境(VR)技術是近年的流行話題,硬件價錢亦逐漸下降,令不少人嘗試利用這項技術創作。除了遊戲外,VR在醫學上亦有多種用途,例如給醫科生學習體驗、協助截肢病人消除幻肢痛(phantom limb pain)、在接受手術前減少焦慮,以及讓醫生預備手術等。

現在,連數學家也受惠於VR技術,能夠借助這項科技來探索一些特別幾何空間,讓抽象的數學想像轉化成經驗。

甚麼是非歐幾何?

大部份人在中小學數學課中接觸的幾何學,稱為歐氏幾何(Euclidean geometry),在這個世界中,三角形內角總和必然是180度,平行公設必然成立︰假如一線段與兩條直線相交,其中一邊內角和小於180度,兩條直線在延伸後將會於那一邊相交。

不明白?看下圖就會清楚︰

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Image Credit: 6054, CC BY-SA 3.0

歐氏幾何可謂最符合日常生活直覺的幾何——它是如此理所當然,在古希臘數學家歐幾里得(Euclid)於其經典著作《幾何原本》描述這套幾何學後,超過2000年來無人能挑戰其地位(雖然有人嘗試證明平行公設),要到19世紀才由「數學王子」高斯(Carl Friedrich Gauss)、波耶爾(Bolyai János)及羅巴切夫斯基(Nikolai Ivanovich Lobachevsky)獨立發現了非歐幾何。

高斯未有發表其研究成果,後兩人則分別發現了現稱為雙曲幾何(hyperbolic geometry)的幾何空間。至此數學界終於知道,歐氏幾何並非唯一的幾何空間,在各種不同的「非歐幾何」中,平行公設並不成立,令到三角形內角和也不必然是180度。

到1854年,高斯的學生黎曼(Bernhard Riemann)開創了黎曼幾何,而這門幾何學分支後來則成為了愛因斯坦發展廣義相對論的基礎。

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Circle Limit III, M.C. Escher
藝術家艾雪(M.C. Escher)的作品《圓極限 III》顯示了雙曲幾何的一些特性(但並非精確描繪)。
進入非歐幾何世界

把各種奇怪的數學空間以電腦動畫展示並非新鮮事,不過VR的優勢在於,它能夠讓我們習慣了歐氏幾何的腦袋和身體,進一步感受、體驗非歐幾何的空間,而非單靠抽象思考。佐治亞理工學院的物理學家Elisabetta Matsumoto說︰「你能夠想像(這些另類的幾何空間),但不會從內心感受到,直到你真正體驗到這些空間。」

她所屬的eleVR團隊致力研究利用VR及擴增實境(AR)技術,幫助人們探索一些數學概念。除了把這些概念轉化成立體影像外,他們亦希望這些新技術可以讓人透過身體及實時互動去理解事物,以新方法獲取新知識。

2015年的時候,eleVR設計了一個叫做「Hypvernom」的VR遊戲,據他們描述,就像一個4維空間的「食鬼」遊戲般。團隊將4維版本的多胞體(polytope,多面體的高維版本)間接地投射到3維空間中,再透過VR讓玩家看到,玩家的任務就是要把這些多胞體「吃」掉。

另外,eleVR也建立了VR的雙曲幾何空間,這個世界暫時沒有太多東西,僅由幾何圖案佈滿空間,不過團隊計劃建築符合雙曲幾何的房屋和街道以及互動體驗,例如能讓參與者打一種非歐幾何版本的籃球。研究人員會把程式碼開放,希望這套軟件可以在科學館流行,並受到VR愛好者歡迎。

更多奇怪的空間

利用VR技術探索空間的不只有eleVR團隊,伊利諾伊大學芝加哥分校(University of Illinois in Chicago)的拓樸學家David Dumas就跟學生造了一個VR壁球遊戲,玩家身處的空間是一個3維環面︰球飛向任何方向,都會「穿過」盡頭從後面回來——這跟一些平面遊戲中,角色穿過螢幕邊沿會從另一邊出來類似,不過是立體版本。

Dumas認為,對於如何利用VR技術作研究工具的想像才剛開始。他們亦計劃設計一個VR體驗,讓玩家能在雙曲空間中打壁球。

eleVR團隊的Matsumoto表示,他們未來希望為更多怪異的幾何設計VR體驗,例如在一些空間中,平行線的向其中一個方向延伸會保持相同距離,但另一方向延伸則會越來越近或遠。她認為把這些幾何空間視角化會是有用的數學工具,因為很少人想到這樣做。

隨着VR技術發展成熟,相信將會有更多相關的VR軟件協助研究、教學等用途,讓習慣了三維歐氏幾何世界的我們,培養出對這些另類幾何空間的直覺。

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