重力是什麼（下）︰愛因斯坦十年尋公式，重力不是力

（續上文）

愛因斯坦的狹義相對論並沒有考慮重力。愛因斯坦發表狹義相對論後，就致力尋找一個更廣義、能把重力包括進去的相對時空理論。

這裡要提一個經常出現的錯誤觀念︰狹義相對論不適用於加速的情況。例如，有個誤解是雙生子佯謬違反了狹義相對論，這是不正確的。狹義相對論能夠描述物件受力加速，也能夠處理加速參考系（即非慣性參考系）的情況。誤解可能來自於在狹義相對論裡，慣性和非慣性參考系的處理有所不同。但這只不過跟牛頓力學一樣，在非慣性參考系裡的觀測者會看到虛擬的力，例如離心力和科氏力等，都不是真正的力。但物理上，加速度對狹義相對論完全沒有影響。

既然如此，我們為什麼需要廣義相對論？既然狹義相對論可以處理加速度，那麼把牛頓的萬有引力定律放進去不就可以了嗎？愛因斯坦也曾嘗試這樣做，但牛頓萬有引力定律的問題在於所謂的超距作用︰重力不用任何時間就能傳遞，而相對論卻說沒有資訊能夠超越光速。其實電磁力的情況也一樣，物理學家需要考慮電磁力傳遞的時間差，這是我們在大學物理課會學到的所謂推遲勢。由於電磁波就是光，電磁力的傳播速度就是光速。如果我們假設重力的傳播速度也是光速，同樣利用推遲勢把萬有引力定律改造，得出的計算數值與觀測結果並不相符。

另一方面，除了把重力包括在內，廣義相對論對慣性和非慣性參考系一視同仁。這是因為狹義相對論的時空只能是平直的，而廣義相對論的時空則可以是彎曲的。換句話說，在狹義相對論裡我們只能用「直線」來畫座標系，而在廣義相對論裡用任何曲或直的線來畫都可以。

答案就在等效原理

1907年，愛因斯坦突然靈機一觸，想到了等效原理（equivalence principle）。試想像我們身處一艘太空船裡，太空船沒有窗戶。我們發現自己感覺就如日常一樣。那麼，我們能否分辨太空船究竟正停泊在地球上，還是以與地球的地心加速度大小一樣的加速度往上加速？愛因斯坦說，我們不可能分辨得到。

另外一個假想實驗是我們身處一部電梯之中，然而我們感受不到任何重力。那麼我們又能否分辨電梯究竟正在往下跌，還是漂浮在太空之中？愛因斯坦說，我們同樣不可能分辨得到。等效原理指出，重力和加速度並不單止效應相同，兩者實際上是同樣的東西！

愛因斯坦回憶說，想到了等效原理的一刻，是他一生中最快樂的一刻。然而，他往後足足用了8年時間，才能由等效原理建構出正確的廣義相對論公式。在尋找正確方程的過程中，愛因斯坦發現他知道的數學工具並不足夠。廣義相對論處理的是彎曲的時空，需要用到所謂的非歐幾里得幾何學。愛因斯坦在蘇黎世聯邦理工學院的同學格羅斯曼（Grossmann Marcell）正好是研究非歐幾何學的教授，因此愛因斯坦向他請教了很多數學上的問題。縱使格羅斯曼並沒有直接參與廣義相對論的研究，他對愛因斯坦的幫助是找到正確方程的關鍵。

終發現正確公式

廣義相對論處理的非歐幾何時空問題，需要使用張量、度規、協變導數的數學概念。張量可想像成具有多個方向的向量，雖然數學上這不完全正確；度規用來描述時空的幾何結構，定義了在非歐幾何上距離的計算規則；協變導數則是在非歐幾何上做微分的方法。我們不用深入探討每一項，也能知道要得心應手地使用這些工具，必須經過長時間的數學訓練。雖然愛因斯坦的數學不差，他始終不是專業的數學家。

1915年暑假，愛因斯坦受數學家希爾伯特（David Hilbert）邀請到哥廷根科學院（Akademie der Wissenschaften zu Göttingen）講了6場講座。他們互相交流了意見，而希爾伯特也開始尋找正確的廣義相對論公式。希爾伯特的進展非常快，漸漸令愛因斯坦感受到很大壓力，他害怕希爾伯特會比自己先找到正確公式。愛因斯坦在同年11月於柏林普魯士科學院（Preußische Akademie der Wissenschaften）講了四場講座，並在最後一場發表了他發現的廣義相對論方程式︰

現在，我們稱之為愛因斯坦場方程式（Einstein field equations）。這是一組十式獨立的張量微分方程組（對，一條公式已包含了十條方程），方程組的解不單止能夠描述物體在重力影響下的運動，更能描述整個宇宙的演化。因為在廣義相對論裡，時空就是宇宙本身。

驗證廣義相對論

廣義相對論說，物體並非受引力吸引，而是沿著四維時空的曲率「下跌」。而扭曲時空的，就是質量。相對論大師惠勒曾用一句精闢的話總結愛因斯坦場方程式︰

時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲。

以下這個比喻是標準的廣義相對論解釋︰想像有張彈床，彈床上放了個保齡球，令彈床向下陷。一個乒乓球滾過保齡球旁邊，就向彈床下陷的方向跌落去了。看起來就好像是保齡球吸引乒乓球一樣。只要把這個比喻變成四維版本，或多或少就跟物理現實一樣。

質量扭曲時空亦會導致一個牛頓力學沒有的結論，可以用來檢驗廣義相對論是否正確。由於重力不是一種力而是時空曲率，那麼就連沒有質量的光也會「跌落」時空的凹陷裡。1919年，天文學家愛丁頓遠征非洲觀察日全食，記錄天狗食日時太陽附近的星光。他對比其他時候所觀察到同一天區的星星，發現星星的位置有輕微偏差，數值恰好與廣義相對論的預言吻合。