重力是什麼(下)︰愛因斯坦十年尋公式,重力不是力

重力是什麼(下)︰愛因斯坦十年尋公式,重力不是力
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我們想讓你知道的是

愛因斯坦回憶說,想到了等效原理的一刻,是他一生中最快樂的一刻。然而,他往後足足用了8年時間,才能由等效原理建構出正確的廣義相對論公式。

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(續上文

愛因斯坦的狹義相對論並沒有考慮重力。愛因斯坦發表狹義相對論後,就致力尋找一個更廣義、能把重力包括進去的相對時空理論。

這裡要提一個經常出現的錯誤觀念︰狹義相對論不適用於加速的情況。例如,有個誤解是雙生子悖論違反了狹義相對論,這是不正確的。狹義相對論能夠描述物件受力加速,也能夠處理加速參考系(即非慣性參考系)的情況。誤解可能來自於在狹義相對論裡,慣性和非慣性參考系的處理有所不同。但這只不過跟牛頓力學一樣,在非慣性參考系裡的觀測者會看到虛擬的力,例如離心力和科氏力等,都不是真正的力。但物理上,加速度對狹義相對論完全沒有影響。

既然如此,我們為什麼需要廣義相對論?既然狹義相對論可以處理加速度,那麼把牛頓的萬有引力定律放進去不就可以了嗎?愛因斯坦也曾嘗試這樣做,但牛頓萬有引力定律的問題在於所謂的超距作用︰重力不用任何時間就能傳遞,而相對論卻說沒有資訊能夠超越光速。其實電磁力的情況也一樣,物理學家需要考慮電磁力傳遞的時間差,這是我們在大學物理課會學到的所謂推遲勢。由於電磁波就是光,電磁力的傳播速度就是光速。如果我們假設重力的傳播速度也是光速,同樣利用推遲勢把萬有引力定律改造,得出的計算數值與觀測結果並不相符。

另一方面,除了把重力包括在內,廣義相對論對慣性和非慣性參考系一視同仁。這是因為狹義相對論的時空只能是平直的,而廣義相對論的時空則可以是彎曲的。換句話說,在狹義相對論裡我們只能用「直線」來畫座標系,而在廣義相對論裡用任何曲或直的線來畫都可以。

答案就在等效原理

1907年,愛因斯坦突然靈機一觸,想到了等效原理(equivalence principle)。試想像我們身處一艘太空船裡,太空船沒有窗戶。我們發現自己感覺就如日常一樣。那麼,我們能否分辨太空船究竟正停泊在地球上,還是以與地球的地心加速度大小一樣的加速度往上加速?愛因斯坦說,我們不可能分辨得到。

另外一個假想實驗是我們身處一部電梯之中,然而我們感受不到任何重力。那麼我們又能否分辨電梯究竟正在往下跌,還是漂浮在太空之中?愛因斯坦說,我們同樣不可能分辨得到。等效原理指出,重力和加速度並不單止效應相同,兩者實際上是同樣的東西!

愛因斯坦回憶說,想到了等效原理的一刻,是他一生中最快樂的一刻。然而,他往後足足用了8年時間,才能由等效原理建構出正確的廣義相對論公式。在尋找正確方程的過程中,愛因斯坦發現他知道的數學工具並不足夠。廣義相對論處理的是彎曲的時空,需要用到所謂的非歐幾里得幾何學。愛因斯坦在蘇黎世聯邦理工學院的同學格羅斯曼(Grossmann Marcell)正好是研究非歐幾何學的教授,因此愛因斯坦向他請教了很多數學上的問題。縱使格羅斯曼並沒有直接參與廣義相對論的研究,他對愛因斯坦的幫助是找到正確方程的關鍵。

終發現正確公式

廣義相對論處理的非歐幾何時空問題,需要使用張量、度規、協變導數的數學概念。張量可想像成具有多個方向的向量,雖然數學上這不完全正確;度規用來描述時空的幾何結構,定義了在非歐幾何上距離的計算規則;協變導數則是在非歐幾何上做微分的方法。我們不用深入探討每一項,也能知道要得心應手地使用這些工具,必須經過長時間的數學訓練。雖然愛因斯坦的數學不差,他始終不是專業的數學家。

1915年暑假,愛因斯坦受數學家希爾伯特(David Hilbert)邀請到哥廷根科學院(Akademie der Wissenschaften zu Göttingen)講了6場講座。他們互相交流了意見,而希爾伯特也開始尋找正確的廣義相對論公式。希爾伯特的進展非常快,漸漸令愛因斯坦感受到很大壓力,他害怕希爾伯特會比自己先找到正確公式。愛因斯坦在同年11月於柏林普魯士科學院(Preußische Akademie der Wissenschaften)講了四場講座,並在最後一場發表了他發現的廣義相對論方程式︰

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現在,我們稱之為愛因斯坦場方程式(Einstein field equations)。這是一組十式獨立的張量微分方程組(對,一條公式已包含了十條方程),方程組的解不單止能夠描述物體在重力影響下的運動,更能描述整個宇宙的演化。因為在廣義相對論裡,時空就是宇宙本身。

驗證廣義相對論

廣義相對論說,物體並非受引力吸引,而是沿著四維時空的曲率「下跌」。而扭曲時空的,就是質量。相對論大師惠勒曾用一句精闢的話總結愛因斯坦場方程式︰

時空告訴物質如何運動,物質告訴時空如何彎曲。

以下這個比喻是標準的廣義相對論解釋︰想像有張彈床,彈床上放了個保齡球,令彈床向下陷。一個乒乓球滾過保齡球旁邊,就向彈床下陷的方向跌落去了。看起來就好像是保齡球吸引乒乓球一樣。只要把這個比喻變成四維版本,或多或少就跟物理現實一樣。

質量扭曲時空亦會導致一個牛頓力學沒有的結論,可以用來檢驗廣義相對論是否正確。由於重力不是一種力而是時空曲率,那麼就連沒有質量的光也會「跌落」時空的凹陷裡。1919年,天文學家愛丁頓遠征非洲觀察日全食,記錄天狗食日時太陽附近的星光。他對比其他時候所觀察到同一天區的星星,發現星星的位置有輕微偏差,數值恰好與廣義相對論的預言吻合。

星光偏折是愛因斯坦廣義相對論的首個驗證。現在,天文學家利用觀察超大質量黑洞或星系團造成的光線偏折去研究非常遙遠的星系。這個類似光學透鏡的效應,叫做重力透鏡(gravitational lensing)。

除此之外,廣義相對論還預測了很多物理效應,都已被一一證實︰例如水星近日點進動(mercury perihelion precession),其數值與使用廣義相對論計算一致;時空會被自轉的星球扭曲,叫做參考系拖拽(frame dragging),已被人造衛星驗證;重力場越強時間流逝速率越慢,叫做重力時間遲滯(gravitational time dilation),已被非常準確的原子鐘證實;2015年正值愛因斯坦發表廣義相對論100週年,人類終於直接探測到廣義相對論的最後一個未驗證的預言——重力波(gravitational wave),這是極大質量在時空中產生的漣漪。

重力波以光速前進,就跟重力傳遞的速度一樣。太陽平均距離地球1億5千萬公里,即光太約要走8分20秒的路程。假如太陽此刻突然消失,地球仍然會繞著前太陽位置繞8分20秒左右,才會「感到」太陽的重力消失了。

愛因斯坦的錯誤

不過,愛因斯坦一開始並不相信重力波存在。他移居美國後寫了一篇論證重力波不存在的論文,投到美國一家期刊。當年,同儕審查(peer review)在美國科學界已經是常規,但在德國科學界卻不然。愛因斯坦因為不滿期刊未經他同意就將論文交給一位專家審閱,忿而撤回了該論文。後來,愛因斯坦發現他論文中用來證明重力波不存在的數學出了錯。現在看來,他撤回論文此舉令他得以發現這個錯誤。

另一個關於廣義相對論的愛因斯坦犯下的錯,就是耳熟能詳的宇宙膨脹。愛因斯坦發現,他親手推導出來的場方程式說,宇宙不是正在膨脹就是在收縮。這是因為重力的本質,時空扭曲只會令物體互相吸引,不會排斥。愛因斯坦認為宇宙必然是靜止的,因此就在方程式裡加入了一個常數項用來平衡吸引力。這個常數項就是上述愛因斯坦場方程中的 Λgμν,其中 Λ 就是所謂的宇宙常數。

1929年,哈伯發現宇宙正在膨脹,愛因斯坦就撤回了宇宙常數。現在,天文學家發現宇宙非但正在膨脹,而且膨脹正在加速,愛因斯坦加入宇宙常數似乎是正確的。

廣義相對論的展望

今天,很多物理學家在找尋比廣義相對論更上一層樓的新時空理論。雖然廣義相對論的預言從未出錯,但我們知道,它至少不是關於宇宙的完整理論,因為廣義相對論與量子力學並不相容。理論物理學家們正埋首研究量子重力理論,而天文學家們也正不斷以新的觀測去測試廣義相對論。沒有人知道再過百年之後,廣義相對論會否仍是主宰時空的理論。但愛因斯坦與相對論,肯定佔有人類文明史冊之中極重要的一頁。

延伸閱讀︰

我於立場新聞寫的《廣義相對論 100 周年》系列︰

我以往關於愛因斯坦和相對論的文章︰

我於物理雙月刊寫的關於邁克生-莫雷實驗的文章︰

本文獲授權載,原文見作者博客

責任編輯︰鄭家榆
核稿編輯︰王陽翎

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