「99%確定」還不足夠,所以這數學家再次證明了「克卜勒猜想」

「99%確定」還不足夠,所以這數學家再次證明了「克卜勒猜想」
Photo Credit: Mohamed Nureldin Abdallah / REUTERS / 達志影像

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如何堆放橙最有效率?當然是像小販的做法。但數學家花了四百年時間,加上電腦協助,才證明這個「克卜勒猜想」。

16世紀數學家哈里奧特(Thomas Hariot)是最早以數學研究球體排列的人,天文學家兼數學家克卜勒(Johannes Kepler)在17世紀初期跟Harriot通信,開始對球體排列問題產生興趣。

兩人的通信跟哈里奧特的原子理論有關,克卜勒最初並不接受,但在1611年的文章中,他探討如果物質都是由極小的球體粒子組成,會有甚麼後果。他的文章描述了「面心立方」裝球法,並指這是最緊密的方式,後來就成為了「克卜勒猜想」(Kepler’s conjecture)。

所謂「面心立方」裝球法,以下圖左邊的排列球體方式,右邊的則稱為「六方最密堆積」法︰

Closepacking
Image Credit: Cdang, derived from Muskid, CC BY-SA 3.0

兩種排列方式的平均密度相同,均為約74.05%(實際比例為π/√18),即球體平均會佔據近74.05%的空間。不過克卜勒未能證明他的說法,成為一項有待證明的數學猜想。如果用淺白的語言來說,克卜勒猜想就是︰「排列球體的最佳方式,就是像小販放橙的那樣」,當然,小販只需要處理有限個橙[1]

一個球同時可親吻多少個球?

跟克卜勒猜想相關的一個問題,就是研究球面的「親吻數」(kissing number)。在平面世界,一個圓形最多可以外接6個圓形,因此二維空間的親吻數是6(圓形是二維的「球面」)。

那麼,三維空間的親吻數是多少呢?參考上圖,若採用「面心立方」或「六方最密堆積」法,每個球都會碰到12個球——上層3個、同一層6個、下層3個,因此三維空間的親吻數最少是12。

kissing
Image Credit: (Left) N.Mori, Public Domain; (Right) Robertwb,CC BY-SA 3.0

牛頓(Isaac Newton)和數學家古格里(David Gregory)曾經為此爭論,牛頓認為三維空間的親吻數是12,但古格里認為有其他排列方法可以放得下第13個球。最終牛頓是對的,19世紀有數個不完整的證明支持牛頓,但首個正確證明要到1953年才出現。

1831年,「數學王子」高斯(Carl Friedrich Gauss)證明了如果以規則晶格(lattice)排列,「面心立方」或「六方最密堆積」是最有效率的方法。換言之,如果要證明克卜勒猜想,只需要證明其他排列都不及這兩種排列方法有效率便可以。

實際上沒那麼容易——自高斯的發現後,克卜勒猜想在19世紀內沒有進展。在20世紀開始時,著名數學家希爾伯特(David Hilbert)列出23條有待解決的數學問題,克卜勒猜想亦在其中(為第18條的一部分)。排列方法有無限多種,要證明全部都不及「面心立方」或「六方最密堆積」有效率,絕非易事。

化無限為有限

在1953年,數學家費耶殊·托茨(Fejes Tóth László)證明了,要判定各種(規則或不規則)排列方式的最高密度這個問題,可以化約成有限的計算,因此理論上能夠以「消除法」證明猜想——只要計算到所有排列方式的最高密度,都不會超過上述近74.05%那個數字,就表示面心立方和六方最密堆積方式最有效率。雖說是「有限的」運算,實際上數量仍然十分龐大,不過Tóth意識到,足夠快的電腦最終令解決這個問題。

費耶殊·托茨採用了的數學工具,包括由數學家沃羅諾伊(Georgy Voronoy)提出的分割方法,稱為沃羅諾伊圖。這個圖可以用一個簡單故事理解︰設想H市有10個地標,當地政府忽發奇想,要把H市劃分成10區,劃區須滿足以下兩個條件︰

  1. 每區僅有一個地標;
  2. 在每區內任何一處,最接近的地標均在本區。

按照這種劃分方式得出的地圖,就是一個沃羅諾伊圖,而每區均會是個沃羅諾伊多邊形。如果地標的數量、位置改變,所產生的沃羅諾伊圖亦會作出相應改變。沃羅諾伊圖的定義不限於有限的平面,在一個無限大的平面上如果有每限多點,同樣可以劃分出一個沃羅諾伊圖。

Euclidean_Voronoi_diagram_svg
Image Credit: Balu Ertl, CC BY-SA 4.0
Voronoi圖的一個例子。

費耶殊·托茨則使用了沃羅諾伊圖的立體版本,把空間以類似方式(按球體中心)劃分成多個的沃羅諾伊立體,並考慮最多13個沃羅諾伊立體體積的加權平均值。他證明了,如果某種方式的加權平均體積大於菱形十二面體(rhombic dodecahedron),就能推論出克卜勒猜想。

原本的克卜勒猜想乃涉及無限多個變數的最佳化問題(optimization problem),而費耶殊·托茨的發現能把這問題有可能化約成有限多個變數。不過,費耶殊·托茨仍要解釋為何只須考慮13個沃羅諾伊立體——我們已知每個球最多只能同時觸碰12個球,他需要估算第13個球跟中心的距離。1964年,費耶殊·托茨提出另一項重要洞見︰他首先提出以電腦解決克卜勒猜想。

與此同時,有其他數學家嘗試從另一途徑攻克猜想。數學家羅渣士(Claude Ambrose Rogers)在1958年證明,排列球體的密度上限大約在78%左右,隨後其他數學家把這個數值稍稍拉低,但仍未到達證明克卜勒猜想所需的74.05%。

99%肯定無誤的證明

1992年,數學家希爾斯(Thomas Hales)在當時的研究生費格遜(Samuel Ferguson)協助下,結合費耶殊·托茨所用的沃羅諾伊立體以及相關的德勞內三角分割(Delaunay triangulation)兩種方法,去解決克卜勒猜想。兩人展開一項龐大的研究計劃,以線式規劃方法,對於超過5000種排列球體的方式,尋找一個函數的下限。而要尋找所有下限,需要解決超過10萬條線性規劃問題——每個問題通常有100至200個變數,以及1000到2000個常數。


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1. 舊有貸款展延
相關規定:
受影響事業於中華民國110年6月1日前已辦理的貸款,可申請展延本金償還期限(含寬限期),中華民國109年、110年5月至12月及110年受影響中小型事業的第一款貸款,可辦理利息減免。
貸款期限:最長1年
貸款利息與額度:利率最高按中華郵政一年期定期儲金機動利率計算。每家利息補貼金額以新臺幣22萬元為上限。

2. 營運資金貸款
相關規定:
受影響事業所需,用以支付員工薪資及廠房、營業場所或辦公場所租金時得予申辦。
貸款期限:每筆貸款期限最長3年,含寬限期最長1年(利息補貼最長6個月)
貸款利息與額度:於中華民國109年、110年5月至12月及110年受影響中小型事業的第一款貸款,貸款利息得以補貼,利率最高按中華郵政二年期定期儲金機動利率加百分之一計算。每家利息補貼金額以新臺幣5.5萬元為上限。此外,員工薪資與租金貸款額度均視申貸前一個月受影響事業的投保情況而定,最高核給6個月薪資/租金總額,總貸款額度最高為新臺幣600萬元。

3. 振興資金貸款
相關規定:
受影響事業所需振興週轉資金時可予以申辦。
貸款期限:每筆貸款期限最長5年,含寬限期最長1年(利息補貼最長1年)
貸款利息與額度:中華民國109年、110年5月至12月及110年受影響中小型事業辦理第一款及前款貸款,利息得予補貼。補貼利率最高按中華郵政二年期定期儲金機動利率計算。前款貸款額度,最高為新臺幣1億5千萬元。每家利息補貼金額以新臺幣22萬元為上限。

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申請後何時可以獲得資金援助?掌握企業紓困貸款條件審核方式

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相挺中小企業度過難關最佳夥伴|各式紓困貸款管道統整

企業紓困貸款100萬
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除了中央政府,銀行、融資租賃公司、民間貸款等也是中小企業申請紓困貸款的管道。

除了政府的企業紓困方案,其他像是銀行、融資租賃公司、民間貸款等,也都有提供中小企業貸款方案,以下簡單說明不同管道的申辦差異:

1. 中央(政府)企業紓困貸款:
申請名額多,資金來源安全有保障,但審核時間較長、申請流程繁瑣,可能需要至少半年以上的時間。

2. 銀行貸款:
個人與企業皆可申請貸款,不過申請門檻較高,對於信用條件較嚴苛,申請後撥款約需等待1~2週。

3. 融資租賃公司:
貸款門檻較彈性,核撥時間快速,通常僅需3個工作天就可完成,且有些會提供多元化的資貸、租賃或分期方案選擇。

4. 民間貸款:
個人與企業皆可申請,但每家貸款申請條件、利率計算方式與撥款速度皆不同,挑選時須留意。

由以上比較可知,政府與銀行的企業紓困方式申請門檻高、申請流程較繁瑣,且等待撥款的時間也較久,因此,越來越多中小企業會選擇值得信賴的融資租賃公司申辦。

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中租企金融資服務專為中小企業提供彈性紓困貸款
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中租企金中小企業融資快速流程

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