業餘數學家協助解答的難題︰怎樣用五邊形來密鋪平面?

業餘數學家協助解答的難題︰怎樣用五邊形來密鋪平面?
Image Credit: EdPeggJr, CC BY-SA 4.0 (background added)
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如何用五邊形密鋪平面?數學家尋求答案的過程中,得力於業餘數學家的協助,發現多種可以密鋪平面的五邊形。

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密鋪平面的圖案往往引人入勝,有種從有限延伸至無限平面的錯覺。古希臘數學家早已知道並證明,如果僅用一款正多邊形的話,就只有正三角形、正方形、正六邊形三種可以密鋪平面。證明並不困難,只要利用多邊形內角和公式便行。

假如放寬要求,不再規定要是正多邊形(每條邊長度一樣及每隻角相等),而接受任何凸多邊形(每一隻角均小於180°),事情就開始變得有趣︰凸七邊形仍然無法密鋪平面,多於七條邊的凸多邊形也不行,但有些凸五邊形可以。(除非特別注明,否則下文中「多邊形」均指凸多邊形。)

不過我們還是先由簡單的開始。所有三角形、四邊形都能夠密鋪平面︰任何三角形跟轉了180°的自己合在一起,就會成為一個平行四邊形,而我們知道平行四邊形能夠密鋪平面。

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Image Credit: EscherMath, coloured

對於任何四邊形,由於其四隻角加起來會是360°,只要如下圖交錯排列就能夠密鋪平面。

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Image Credit: EscherMath
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Image Credit: EscherMath

1918年Karl Reinhardt在他的博士論文中探討這個問題,並證明了可以密鋪平面的六邊形雖然有無限多款,但都會屬於以下3類的其中之一,每一類都有若干角度及邊長上的限制,例如某些角加起來要等如360°、某些邊長度須相同等︰

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《維基百科》截圖,Image Credit: Tomruen, CC BY-SA 4.0

在他的論文中,Reinhardt亦發現了5類可密鋪平面的五邊形,以下是其中一類,可以拼成正六邊形來密鋪平面︰

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Image Credit: Tomruen, CC BY-SA 4.0

不過跟六邊形的情況不同,他未能證明只有這5類五邊形可以密鋪平面。要到1967年這個問題才有進展,當時在約翰·霍普金斯大學的基舒拿(Richard Brandon Kershner)發現了另外3類可密鋪平面的五邊形,令總數增加至8類。

在介紹其發現的論文中,基舒拿宣稱所有可密鋪平面的五邊形都不出這8個類別,他又說證明這個清單完整「非常費力」,將會在別處提出證明。然而他根本不可能證明到這一件事,因為尚有其他在當時未被發現的五邊形,同樣可以密鋪平面。

作家葛登能(Martin Gardner)得悉基舒拿的發現後,在1975年在《科學美國人》(Scientific American)雜誌的數學專欄上撰文介紹。大學讀哲學、未曾受過嚴格數學訓練的葛登能,擅長深入淺出解說數學謎題,吸引萬千讀者,也燃點了不少人對數學的興趣。而在密鋪平面的五邊形這個問題上,他更參與其中,推動數學發展。

文章刊出後,葛登能就收到電腦科學家Richard E. James III的一封信,附上另一類可以密鋪平面的五邊形,以及這個問題︰「你是否同意基舒拿漏了這個?」在給基舒拿的一封信中,葛登能以這個發現說明在數學界中,一個證明要得到專家共識接受才能算是證明。

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Richard E. James III發現的五邊形排列。圖片來自Martin Gardner《Time travel and other mathematical bewilderments》一書,顏色經過修改以方便閱讀。

基舒拿回信時指,自己在舊文章曾提到「數學史上曾有一些被廣為接受的論證,最終被數學家指出證明中的缺漏…而每年世界各地的數學期刊中,也有一定論文指出過往有人宣稱已證明的陳述其實不正確」,只是在寫下有關段落時,不曾想過他本人終將成為其中一個例子。

家庭主婦懷斯(Marjorie Rice)讀了葛登能的文章後,亦開始探索密鋪平面的世界,她的家人不時見她坐在廚房秘密繪製圖案,她的女兒說︰「我那時候以為她只是在塗鴉。」在高中只讀了一年數學的懷斯,最終發現了4類可以密鋪平面的五邊形,以及多種密鋪平面的圖案。

在佛羅里達州出生的懷斯,在學期間曾跳兩級,跟較年長的同學一起學習。雖然她對於學習很有興趣,但貧窮及文化規範令她的家庭未有考慮她可能讀大學。1945年懷斯結婚,其後搬到華盛頓特區,懷斯那時候成為一位商業藝術家,直到兩人再搬到加州聖地牙哥市。

懷斯在一次訪問中提到,她認為如果能發現一些未有人見過的美麗圖案,會是非常美妙的事情。她亦在文章中指自己著迷於這個題目,希望了解各類五邊形為何如此獨特,但由於缺乏數學背景,她發展出一套自己的符號系統,並在數個月後發現新的可密鋪平面五邊形。

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From Quanta Magazine
懷斯發現的其中兩款五邊形排列,以及她按此繪製的畫作。圖片由懷斯的女兒Kathy Rice提供。

1976年2月,懷斯把她的第一個發現寄給葛登能,而葛登能則把她的發現轉寄給其他有興趣的數學家,包括基舒拿和沙特施奈德(Doris Schattschneider),很快就確認這是新的一類五邊形。基舒拿寫信問懷斯如何發現,並承認曾自己錯誤排除了這一類五邊形。

當沙特施奈德檢視懷斯的首個發現時,她認為這個「第9類」五邊形跟基舒拿發現的「第7類」及「第8類」五邊形,可能同樣屬於另一個更大的家庭。於是沙特施奈德作出一項猜想,並告知葛登能。不夠兩星期後,懷斯來信,指出她也曾作同樣猜想,並證明了這猜想是錯的。

同一年,懷斯再發現了兩類五邊形,在1977年她又發現了一類,全部均前所未見。換言之,葛登能一篇文章換來5類可以密鋪平面的五邊形,令總數增至13類。

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懷斯的筆記,圖片出自《The Mathematical Gardner》一書。

1985年,德國研究生Rolf Stein發現了第14類五邊形,此後30年問題一直未有進展。直到2015年,華盛頓大學貝色分校的3位數學家Casey Mann、Jennifer McLoud及David Von Derau利用演算法發現了第15類五邊形,撇除放大縮小外,這類五邊形只得一款,五隻角的角度比各邊長之間的比例均有規定。

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Image Credit: Tomruen, CC BY-SA 4.0

基舒拿的故事教訓我們,即使數十年未有發現新的五邊形,也不能輕言「就只有這些」——除非有數學證明可以密鋪平面的五邊形只得15類。

法國CNRS的數學家拉奧(Michaël Rao)聽到數學界發現第15類五邊形後,決定徹底檢索,以完全為所有可密鋪平面的五邊形分類。今年5月,Rao把他的手稿放上網,宣稱已經徹底解決了問題——答案只有15類,不多不少。

在其證明中,拉奧首先證明可以密鋪平面的凸五邊形種類有限,他利用一些簡單的幾何公式去加入限制,例如五邊形的5隻角加起來必須是540°、每個頂點的角加起來必須是360°(如果碰到其他五邊形的角)或180°(碰到其他五邊形的邊時)。加入這些限制後,拉奧計算出371個可能,再以電腦驗證,發現全部可能情況都屬於已發現的15類五邊形之中。

對於未能發現新的可密鋪平面五邊形,拉奧感到失望,但其他專家則表示,能夠證明只有15類五邊形比起發現「新品種」更加重要,除了可以徹底解決這個問題外,更能用類似方法挑戰相關難題。

證明克卜勒猜想的數學家Thomas Hales獨立驗證了拉奧證明中最重要的一半,顯示當中應該沒有出錯,他對於拉奧的證明有信心。不過,這份手稿仍然未經同行審查,不能太快下定論。假如拉奧的證明沒錯,懷斯就是自近百年前提出五邊形密鋪平面問題的Reinhardt以外,發現最多五邊形類別的一人。晚年患上失智症的懷斯於今年7月2日與世長辭,終年94歲,永遠無法得悉結果,不過她對攻克這個問題的貢獻將永不磨滅。

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