第一次數學危機:差點逼瘋畢達哥拉斯的√2

第一次數學危機:差點逼瘋畢達哥拉斯的√2
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我們想讓你知道的是

作者介紹第一次數學危機時,發現無理數的故事,包括差點逼瘋畢達哥拉斯的√2。

本集是【電腦是怎麼來的?】系列第三集。

讓腦海裡裝滿了哲學家對於探索世界的渴望(當然,也別忘記我們在前一篇文中介紹的哲學家理念),我們換一個領域,來看看歷史上三次的數學危機,是如何逢凶化吉……噢不,是如何藉由一次次概念上的突破,最後才催生出最初的電腦概念吧。

大家都知道數學很重要,但數學到底為什麼重要?讓小時候的我們(說不定到現在仍是)困惑已久的一個問題是:只要知道加減乘除在日常生活能使用就好了,為什麼要學三角函數、排列組合、微積分、線性代數?但如果我們更進一步問:要怎麼知道這世界上有無理數?為什麼1+1=2?(啊災,幼稚園老師說1+1=3是錯的所以它就是錯的)

因為我們不瞭解數學、不瞭解數學背後探求宇宙真理的精神、與數學大廈真正的基礎,才會受於思考上的限制。

今天要介紹的是第一次數學危機時,發現無理數的故事,包括差點逼瘋畢達哥拉斯的√2。

數學是怎麼來的?

在沒有數字的概念之前,人類對於自然界中的增減、多寡,僅有一種朦朦朧朧的感覺。到人類發展出一套抽象的數字後,已經是很久以後的事情。

如同數學家羅素所言:「人類花了數千年的時間,才理解兩隻雞的『2』和兩天的『2』是一樣的。」有了抽象數字後,才帶來了更多商業和科學上的應用。」然而數學的發展,最早即源於人們對於計量的需要。

計量有兩種,第一種是「計數」,古代的結繩法就是一種計數方法:有一個東西就打一個結,再有一個就再打一個結。或牧羊的時候,將一頭羊就對應一顆小石子,當傍晚把羊牽回來時,再一一拿石頭對應羊的數目,如果有多的石頭就知道有羊走失了。

第二種計量方法是「測量」。比如:一條直線的長度、一個區域的面積、一個容器的體積……長度、面積、體積都是測量出來的結果。

有關計數和算術的基本概念,似乎是所有人類文化都有的共通特徵,算術和計數工具更是早於文字的出現。人類學家在許多史前時代的文物中便已經發現有關數學活動的蹤跡,時間甚至可以追溯至37,000年前的非洲。

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圖片來源:作者提供
距今3萬7千年前在非洲發現的Lebombo Bone和Ishango Bone是迄今為止知道的最早的計數工具。

另外,約莫在4,000年前的埃及數學便已經是一個發展完備的學科,內容和今日我們小學、中學學習的計算和幾何知識。(天啊原來我的智商跟四千年前的人差不多)

從埃及、巴比倫、印度、中國……古代文明不乏有數學活動,然而希臘數學之所以獨立於這些文明,是因為他們將「邏輯論證」擺在數學的中心位置,真正改變了什麼叫做數學。

第一次數學危機:無理數的發現

有了數之後,我們也對此有了幾何上的解釋:把數字與一條直線上的點一一對應起來,就成了數軸。若我們取一個整數5,也就是取直線上單位長度為5的點。至於分數3/5,則是對單位長度進行5等分、再取其中的3等分。

藉由數軸,我們成功將「計數」和「測量」這兩個問題結合在了一起。所有的數字都能在數軸上的點上面找到。一切都十分合理且完美,以至於正整數和正整數比在當時被稱為「有理數」(Rational Number)。

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可以把負數看成相對應正數的「鏡數」,往反方向無限延伸。可以在兩個分數之間找到另一個分數,甚至可以找到無限多個分數,比如1.5和1.75之間必可以找到1.6……這樣看來,有理數會形成一個龐大又稠密的集合,彼此間毫無空隙。

還記得我們先前提過的畢達哥拉斯學派嗎?畢氏學派是一群古怪的人,他們的哲學是大雜燴;有些東西我們現在歸為數學、有些視為哲學;有些視為宗教、有些視為神經病。(他們相信豆子藏有死者的靈魂,所以不能吃豆子。)

總之,這個拜數狂熱教派信奉「萬物皆數」,因此認為宇宙間的各種關係都可以用正整數與其比例,也就是使用「有理數」來表達。

為了論證數本原說,畢達哥拉斯學派提出萬物(這裡還可理解為表述萬物的語言的意義)與有理數在結構上是相似的,比如音樂。

只可惜,有一個怪異的數字破壞了這一切美好——√2。

傳說中,畢達哥拉斯發現了著名的畢氏定理:直角三角形兩邊長平方和等於斜邊長平方,卻也震驚地發覺到:邊長為1的直角三角形,其斜邊長無法用正整數和分數這樣的有理數來表達。

√2雖然不是有理數,卻也能用尺規作圖的方式將它畫在數軸上,顯然也是數軸上的一個點。

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這摧毀了畢達哥拉斯的完美立論,居然有一個點是不能用單位長度來測量!也就是說無論數軸上的刻度多精確,也不會有一個刻度能正好落在√2這個點上。畢達哥拉斯本人也痛苦地證明了這點。

為免讓學派基礎瓦解,畢氏學派的人們小心翼翼地維護著這個秘密。相傳畢達哥拉斯有一位學生希帕索斯(Hippasus)無意中對外人洩漏了這個驚人秘密,因而以「瀆神」的罪名被扔到地中海裡。坐觀海景第一排……人們也將√2、π這類數稱為「無理數」(Irrational Number),在希臘時代稱為不可公度量(incommensurable number)。

第一次數學危機的解決,是在公元前370年,由希臘人歐多克索斯(Eudoxus)透過「比例論」,解決了無理數的問題。

來看看他是怎麼想的:

圓面積的公式為:面積(A)=圓周率(π)x半徑(r)平方

但問題來了,A是一個無理數耶?該怎麼處理它呢?

可以這樣想——如果A1和A2是這兩個圓的面積:

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