今天是「畢氏定理日」,你懂得多少個證明?

今天是「畢氏定理日」,你懂得多少個證明?
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我們想讓你知道的是

本世紀的「畢氏定理日」所餘無幾,先來了解一下這條重要定理吧。

今天是15/08/17,是其中一個「畢氏定理日」。不像「圓周率日」訂在每年的3月14日,畢氏定理日較為罕見,須由年(最後兩位數字)月日三個數字,組成「畢氏三數組」——也就是可以按比例畫成一個直角三角形的三個整數。

由於「152+82 = 225+64 = 289 =172」所以「15, 8, 17」組成一個畢氏三數組,今天便成為畢氏定理日。根據這個定義,每個世紀最初有較多畢氏定理日,其後會越來越少。對上一次畢氏定理日,是在2016年12月20日(20/12/16),而今個世紀則只餘下5個畢氏定理日,有興趣的讀者可以試找出來(答案見文末)。

畢氏定理以古希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)命名,在他以前已有不少數學家知道這定理的內容︰「對於所有邊長分別為a, b, c的直角三角形(當中c為斜邊邊長),a2+b2 = c2」,換言之,若以三邊邊長各畫一個正方形,較小的兩個正方形面積加起來,會跟較大的正方形面積相等。

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Image Credit: Wapcaplet, CC BY-SA 3.0
圖1

其他地方的畢氏定理

畢達哥拉斯在公元前570年出生,定理雖以他命名,但他並非歷史上最早發現定理者。有證據顯示公元前1700年的古巴比倫人已經知道定理的內容,甚至懂得計算畢氏三數組——相信來自巴比倫文明的普林頓322號泥板書(Plimpton 322)上,刻有15組數字,當中包括畢氏三數組的其中兩個(有其中兩個就可以算出第三個)。

在印度,出現於公元前8世紀至5世紀的《包德哈亞那文集》(Baudhayana Sulba Sutra)亦有包含畢氏三數組的列表、畢氏定理的陳述,以及畢氏定理應用於等腰直角三角形的幾何證明。

古代中國流傳至今的最早數學著作《周髀算經》,記載了邊長分別為3、4及5的直角三角形,並有一個幾何證明。在中國,畢氏定理又稱為「勾股定理」或「商高定理」,「勾長」及「股長」分別指直角三角形兩邊直角邊的長度,而商高則是《周髀算經》中記載參與對話,並解釋該定理的人。

根據出生在公元4世紀的希臘哲學家普羅克洛(Proclus),畢達哥拉斯提出以代數方式去構造畢氏三數組,而在歐幾里德(Euclid)的《幾何原本》(The Elements)中,記載了畢氏定理最早公理證明。

幾個證明

相信讀者在數學課中總會見過畢氏定理,也許不太多人知道的是,畢氏定理有很多證明——在1940年出版的《The Pythagorean Proposition》收錄了362個畢氏定理的證明,作者Elisha Schott Loomis於此書的第二版中,再加入9個證明,令總數增至371個,可能是最多已知證明的數學定理。(我沒讀過此書,無法確定書中證明有否重複。)

以下就介紹幾個簡單證明。

Pythagoras-proof-anim_svg
Image Credit: William B. Faulk, CC BY-SA 4.0
圖2︰第一個證明。

在圖2中,兩個正方形邊長均為 a+b,因此面積都是 (a+b)2,四個藍色及綠色三角形面積相等,邊長都分別是a、b及c(當中c為斜邊邊長,下同)。從右邊的三角形排法,我們可以看到空白位置面積是a2+b2,而從左邊的排法則可以看到空白面積是c2,因此a2+b2 = c2

讀者亦可以參考以下動畫︰

Pythag_anim
Image Credit: JohnBlackburne, CC BY-SA 3.0
圖3︰第一個證明的動畫示範。

假如我們使用代數等式,亦可以類似構圖作其他證明。

Pythagoras_algebraic2_svg
Image Credit: JohnBlackburne, CC BY-SA 3.0
圖4︰兩條代數等式,兩個證明。

先看圖4最頂的正方形,邊長為c,內嶔4個直角三角形,所以中間的小正方形邊長為b-a(假設b較長)。正方形面積等如4個三角形面積加上小正方形面積,由於三角形面積為 ab/2,根據等式 (b-a)2 = b2 - 2ab + a2,我們知道︰

c2 = (b-a)2 + 4(ab/2)
= b2 - 2ab + a2 + 2ab
= b2 + a2

這就得出 a2 + b2 = c2

至於圖4下面的正方形,除了如第一個證明般搬動那些三角形外,亦可以利用等式 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2。由於大正方形面積為 (a+b)2,小正方形面積為 c2,我們知道︰

(a+b)2 = c2 + 4(ab/2)
⇒ a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
⇒ a2 + b2 = c2

這樣又再證明了畢氏定理(已經是本文第三個證明)。

最後介紹一個據說是愛因斯坦發現的證明。

Strogatz-Einstein-1
Image Credit: Steven Strogatz
圖6︰把一個直角三角形,分成2個相似的直角三角形。

對於任何直角三角形,先如圖6上方般,畫一條連上直角及斜邊的垂直線,把三角形分成兩份。由於3個三角形都是直角三角形,兩個小三角形跟大三角形均為相似三角形(相應的角度相等),換言之,圖中有3個相似三角形(綠色、黃色及藍色)。

Strogatz-Einstein_2
Image Credit: Steven Strogatz
圖7︰3個三角形的面積。

這3個直角三角形的面積,都跟其斜邊為邊長的正方形面積構成相同比率(因為3個三角形相似),把這比率稱為f,那麼圖7中綠色、黃色及藍色三角形面積分別為 fa2fb2fc2。由於兩個小三角形面積,加起來跟大三角色面積相等,所以我們知道 fa2 + fb2 = fc2,簡化後就得出 a2 + b2 = c2

畢氏定理看似簡單,卻是解析幾何、三角學的重要基礎,讓畢達哥拉斯學派發現了無理數,亦可推廣成其他更複雜的數學理論,並啟發出數學界花上360年才證明到的費馬最後定理以及需要超級電腦運算兩天才能證明的布爾畢氏三數組問題(Boolean Pythagorean triples problem)等。

相關文章︰

答案︰本世紀餘下5次畢氏定理日如下。

  1. 2020年12月16日(16/12/20)
  2. 2024年7月25日(25/7/24)
  3. 2024年10月26日(26/10/24)
  4. 2025年7月24日(24/7/25)
  5. 2026年10月24日(24/10/26)

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