圓周率小數點從第七位到第八位，花了數學家九百多年

文：部貞市郎

圓的面積為半徑平方乘以圓周率，圓周長為直徑乘以圓周率，球體體積為半徑三次方乘以4/3再乘以圓周率，但是圓周率到底是3.14？3.1416？或3.1415926？還是22/7或355/113 呢？到底什麼是圓周率？還有，圓周率是如何發現的呢？

從數學史可知，即便是古代人智未開、對數字的概念還十分粗淺的時候，人類便已經想盡各種方法，以求得從圓的直徑到圓周長等答案。不管是西方或中國的古人都認為，直徑的3倍等於圓周，後來這個觀念傳到日本，所以日本人剛開始也都一直認為，圓周長為直徑的3倍。

日本數學家很早就在推算π

後來又從中國傳來各式算法，因此自藤原時代（指894年廢止遣唐使以後的平安時代中、後期）到鐮倉時代（1185∼1333年），一般人都認為圓周率為3.16。

日本到了戰國時代、進入文化黑暗期，所有學問全都停滯荒廢，完全沒人研究數學。直到德川家康統一天下，進入和平盛世後，各家學術的學者輩出，因而在數學方面也出現了有名的關孝和大師，還有多位日本和算家。在這段期間，學者們以獨特的方式算出精密的圓周率。

寬文年間（1661∼1672年），松村義清計算圓內接的正方形周長，他同樣的加倍邊長數，依序算出圓內接的正8邊形、正16邊形、正32邊形、正64邊形的周長，最後求得215、也就是正32768 邊形的周長，大約與圓周長相等，因而發表圓周率為3.1415926……，這個發現記載於他的著作《算爼》一書中（編按：「爼」是古代擺在桌上盛放祭品的青銅製禮器）。

還有，元文年間（1736∼1740年）一位名為松永良弼的學者在其著作《方圓算經》中寫到2個級數：

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由此算出高達50位數的圓周率。

此外，淡山尚綱在享保13年（1728年）於其著作《圓理發起》中，以另外2個級數算出圓周率：

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並得到同樣的結果。而同時期還有位名為建部賢弘的人，也以其他的級數正確算出圓周率至小數點後的41位，此結果發表於其著書《不休綴術》中。

在微積分發達的現代，我們可以用各種方法算出圓周率，所以並不覺得有什麼了不起，但在西方數學尚未流傳至日本的江戶時代，日本和算家熱心的研究並完成精密的計算，足以證明日本民族的數學頭腦絕不亞於其他民族（編按：西元約6世紀、南北朝時候的中國數學家祖沖之，算出來的圓周率精確到小數點後7位，這項紀錄保持了九百多年才被阿拉伯數學家阿卡西突破，日本學者曾以「祖率」來稱呼圓周率，至今巴黎發現宮博物館外還刻有祖沖之的姓名以表紀念）。

π的競爭，看誰算到小數點之後的位數最多

大家都知道，圓周率的符號都是以π 表示，這是用圓周這個字的希臘文 的第一個字母命名的，18 世紀中葉名數學家歐拉（Leonhard Euler, 1707∼1783）在其著作《無窮分析導論》中開始使用之後，大家就跟著這樣用了。

翻開世界數學史，發現原來圓周率的起源很早就開始了，距今兩千五百多年前，自從希臘開始研究「圓面積問題」之後，許多學者便把圓周率視為有趣的問題而熱烈研究討論。在埃及古蹟出土的《萊因德紙草書》上記載了相當於圓周率π＝3.1604的圓面積計算問題，由此可知在當時世界文化中心的埃及，認為圓周率為3.1604。

至於希臘、巴比倫以及中國、印度等地區，都以為圓周率是3，也就是認為直徑的3倍等於圓周長。之後名數學家阿基米德以圓內接正6邊形邊長與圓半徑相等的概念為基礎，依序計算出正12邊形、正24邊形、正48邊形、正96邊形的周長，同時也計算出圓外切正96邊形的周長，由於圓周長比內接正多邊形周長為長，又比外切正多邊形周長為短，因此證明出π的值比3又10/71大，比3又1/7小，因為

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所以圓周率推算到小數點後2位為止（3.14）是正確的。現在在許多國、高中數學裡，都是採用阿基米德算出的圓周率。

後來埃及的天文學家托勒密採用與阿基米德相同的方法，計算出更多邊的內接外切正多邊形的周長，發表π的值為3.141552。此外在希臘、巴比倫、羅馬等地，也有許多數學家利用各種方法積極的研究這個問題，在印度6世紀初期，一位名為阿耶波多（Aryabhatta）的學者以托勒密的方法計算，發表圓周率為3.1416。

當時的學者都沒發現π的值是屬於無理數的一種「超越數」，都以為π可以有限小數或循環小數表示，想盡辦法要找出π真正的值，最後都宣告失敗。之後有位法國的數學家韋達（Vieta, 1540∼1603）計算圓內接外接正393216邊形的周長，求出π的值介於3.1415926535和3.1415926537之間，數學史上記載他的這項結果是於1559年發表的。還有一位出生於德國的數學家魯道夫（Ludolph van Ceul-en，1540年生於德國希爾德斯海姆，留學荷蘭，後成為在萊頓大學擔任教授的名數學家，由於熱衷於π 的計算，在德國甚至將圓周率稱為「魯道夫數」），傾畢生之力計算圓周率，終於得到以下結果，並公開發表：

π＝3.1415926535897932384626433832795028

以現代人的觀點來看，耗盡畢生精力在這樣一個問題上是很愚蠢的事，但各位要記得，正因為有這些熱心追尋真理的學者，文明的光芒才得以綻放、文化才能開花。