一場數學史爭論︰這塊古巴比倫泥板到底有何用?

一場數學史爭論︰這塊古巴比倫泥板到底有何用?
Image Credit: UNSW影片截圖
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這塊來自古巴比倫的泥板,到底是老師出題給學生的數表,抑或計算實際問題的工具?

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據估計,普林頓322(Plimton 322)號泥板書來自公元前1822至1784年的巴比倫。泥板上刻有4直行15橫列以楔形文字寫成的數字。最左一行是由大至小排列的小數,第二及三行則是一些整數,最右一行用作標示列數。

紐約出版商普林頓(George Arthur Plimpton)在1922年買下P322泥板,並於1930年中捐出其收藏時,一併送到哥倫比亞大學。售賣泥板的商人告訴普林頓,泥板來自伊拉克南部一個考古遺址,該處古時稱為拉爾薩(Larsa)。

歷史學家笠臣(Eleanor Robson)指出,雖然P322泥板沒有日期,但有數塊來自拉爾薩的泥板寫下日期,都在公元前1822至1784年間,因此估計P322泥板同樣出自這段時間。

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Photo Credit: UNSW / Andrew Kelly
P322泥板。
一塊泥板

泥版上的數字都以60進位寫成,中間兩行的整數大小不一,由45至18,541不等(本文採用十進制,下同),但它們都符合一項特性︰同一列的兩個數字,都屬於同一組「畢氏三數組」(Pythagorean triple)。

根據畢氏定理,我們知道直角三角形的斜邊平方,等如直角兩邊的平方和。如果以a、b分別代表直角三角形中較短的兩邊邊長,c代表斜邊邊長的話,以公式表達就是a2+b2=c2。而滿足這條公式的整數a、b及c,例如「3, 4, 5」、「5, 12, 13」等,就稱為「畢氏三數組」。

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Photo Credit: Jochen Lübke / picture-alliance / dpa / AP Images / 達志影像

數學史家發現,第二行都是畢氏三數組中最小的數字,而第三行同一列則是同一個三數組中最大的數字。例如泥板上第一列中間兩行的數字分別是119及169,就屬於畢氏三數組「119, 120, 169」,第四行的12,709及18,541則屬於畢氏三數組「12709, 13500, 18541」。

如果以直角三角形來看,假設我們把直角兩邊中較短的一邊長度稱為s、較長一邊為l、斜邊長度為d,第一行的小數則代表「d2/l2」或「s2/l2」——兩個數字的小數部分相等,前者整數部分為1,後者為0,由於泥板最左邊破裂,兩個詮釋均有可能。

無論如何,這塊泥板看來跟直角三角形很有關係。數學史研究者都知這塊泥板上的數字,甚至修正了6個錯處,也知道這些數字之間的關係,但對於泥板原本的作用、如何詮釋數表仍有不同意見。

如何詮釋P322泥板?

有一套理論認為,P322泥板用來提供畢氏三數組的列表。要計算畢氏三數組,我們可以先取兩個互質(沒有公因數)的數字p及q,其中一個必須是雙數,那麼「p2-q2, 2pq, p2+q2」就會是一個畢氏三數組。

這套理論認為,P322泥板計算的畢氏三數組,都是從「正規」——即質因數最多只有2、3及5——的數字p和q按上述公式計算出來。正規數巴比倫人使用60進制而言非常方便,因為它們的倒數(k的倒數為1/k)都是有限小數(以60進制表示)。不過這套理論未能解釋為何列表只取其中15組數字,亦無法解釋第一行的用途。

另一套理論則認為,P322是一個三角學數表,第一行代表相關角度的正切(tangent)或正割(secant)函數的平方,第二及第三行則是相應的直角三角形短邊和斜邊長度。排序方面,P322是按角度大小排列,每列相差約1度。

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Table from Mansfield & Wildberger 2017
P322泥板上的數表,轉換成阿拉伯數字,但以60進制表示。錯誤已修正,括號內為原本的數字。

然而笠臣指出,現存文獻顯示,古巴比倫時期的數學並沒有「角度」這個概念。她提醒我們在詮釋遙遠的歷史文獻時,必須理解當時的文化和數學水平,以三角函數理解數表是「概念上不合時」的。

笠臣認為較可能的詮釋是︰P322泥板列出的是「正規倒數的數表」,並認為泥板作者可能是個老師,以P322泥板來設計題目和檢對答案步驟。笠匠的詮釋解基於另一塊在接近時間地點出現的泥板,該泥板描述了解出二次方程「x-1/x = c」(c為常數)的步驟。她亦分析了泥板上的文字以及錯誤,嘗試說明這個詮釋最有可能。

準確的三角學數表?

澳洲新南威爾斯大學數學及統計學系研究員孟斯菲爾德(Daniel Mansfield)為數學系一年級學生準備課程時,偶然讀到P322泥板的資料。他跟該系副教授韋伯格(Norman J Wildberger)決定研究巴比倫數築,以檢查各種對泥板的詮釋,但之後發現這跟韋伯格2005年著作提出的「有理三角學」(rational trigonometry)相似。

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Photo Credit: UNSW / Andrew Kelly
手持P322泥板的孟斯菲爾德。

孟斯菲爾德和韋伯格認為,P322有可能是個60進制的三學角數表——而且無須建基於角度,因此巴比倫數學缺乏角度概念不成問題。兩人把他們的研究成果寫成論文,並於今年8月24日在數學史期刊《Historia Mathematica》發表。

在計算機尚未出現或普及的年代,要計算三角學問題往往須求助於函數表,但那些三角函數的數值往往都是無理數——也就是無限不循環的小數,因此數表只能提供近似值。這個做法可追溯至古希臘的「三角學之父」喜帕恰斯(Hipparchus of Nicaea),他使用三角學數表來計算天文問題。

然而兩人認為,這並非處理三角學問題最先、唯一或最佳的方法,P322泥塊或揭示古巴比倫人也發展出其獨特的三角學——不使用角度,也不使用近似值。

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Image Credit: Daniel Mansfield

古希臘人對角度的理解,是透過半徑畫圓的方式,角度跟相應的弧度有關,以半徑為斜邊可以畫出不同角度的直角三角形。而古巴比倫人的理解則截然不同,他們把直角三角形視為長方形的一半,由於他們使用60進制,可以構造出多種比例的直角三角形,而且只使用準確比例。

跟十進制相比,60進制在處理分數時更容易準確運算,例如把1小時除以3,我們可以得出準確的20分鐘;把10元分成3份,就會得到3.333...元。

孟斯菲爾德和韋伯格引述1964年的研究指出,P322泥版可以對稱地「擴充」成6行38列的數表,並引述三個來自另一古巴比倫數表的問題,顯示當時的人有興趣解決跟長方形有關的三角學問題。他們更示範了如何使用「擴充版P322泥板」來準確計算出答案,指出泥板包含了足以讓古巴比倫人解決實際幾何問題的資訊,可用作準確的60進制三角學數表。

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仍然只是假說

假如這個詮釋正確,P322泥板就是最早出現的三角學文獻,甚至提出一種嶄新的角度去了解三角學。

同樣有研究P322泥板的瑞典科學史家費伯格(Jöran Friberg)卻不同意兩人的想法,他在給《科學》的電郵中表示,巴比倫人並不知道任何跟邊長比例有關的知識,他仍然認為P322泥板上的數表,只是用作編寫教材,而這些參數並剛好是直角三角形的邊長。

P322泥板專家、數學史家普斯特(Christine Proust)則表示,這項新研究提出的假說非常吸引。但她同時指出,尚未有證據顯示古巴比倫人使用P322泥板來計算或了解直角三角形,即使這個假說在數學上成立,仍然只是推猜性的想法。

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