讓你可以證明任何結論的「居里悖論」

今天（9月12日）是邏輯學家居里（Haskell Brooks Curry）生日，有三種程式語言以他名字命名，分別叫做Haskell、Brooks和Curry^[1]。

居里生於1900年的麻省，16歲就進哈佛大學打算讀醫學，但後來轉讀數學。本來他在哈佛攻讀博士，師承數學家伯克荷夫（George Birkhoff）研究微分方程，其後發現組合子邏輯（combinatory logic）的研究，於是搬到當時的數學重鎮——德國的哥廷根——研究，在希爾伯特（David Hilbert）指導下完成論文。

居里主要的研究領域為組合子邏輯，現時亦屬於電腦科學研究範圍之一。著名的創業投資公司Y Combinator，名字正是來自由居里發現的「Y組合子」^[2]，而這個組合子令到原版的λ演算系統產生矛盾。

邏輯學家邱奇（Alonzo Church）在1930年代提出的λ演算系統以及居里的一個組合子邏輯系統，在1935年被邱奇兩位門生基利（Stephen Kleene）及羅沙（John Barkley Rosser）提出的悖論證明隱含矛盾。後來居里把這個悖論簡化，變成邏輯學中著名的居里悖論。

邏輯符號或會太過嚇人，以下用較為淺白的語言解釋一下居里悖論。

讓我們定義「居里句」C為「如果C，則地球是平的」，雖然這句子自我指涉，基本上在說「如果這句話是真的，則地球是平的」，但看來好像無傷大雅。

根據同一律，我們知道「如果C，則C」，把上句後面的「C」換成上一段的定義，就得出「如果C，則『如果C，則地球是平的』」。但這個寫法太累贅了，我們可以簡化成「如果C，則地球是平的」——那不就是C本身嗎？所以從同一律出發，我們已經證明了C。

最後一步，就是結合「C」以及「如果C，則地球是平的」兩句，得出結論「地球是平的」。由於「地球是平的」這句在整個證明中形同虛設，無論你將之換成「動物傳心是真的」、「甘迺迪遇刺時在坐四人車」（其實是六人車）、「世界由蜥蜴人控制」等都一樣成立。

對邏輯學家而言，真正的噩夢是你可以推論出任何矛盾句。這個問題如何解決呢？最簡單的做法，是禁此這類居里句存在，如果要接受居里句，就必須修改推導規則^[3]。

居里悖論跟其他常見悖論如「說謊者悖論」和「羅素悖論」等的分別，在於沒直接使用「否定」（negation）^[4]。有些非經典邏輯（non-classical logic）試圖以不同方式去理解「否定」，從而解決悖論，卻未必可以擺脫居里悖論。

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註︰

1. 《維基百科》把實驗性的程式語言Brooks連結到另一語言Brook的條目，但該語言應跟居里無關。關於Brooks的描述可參考此論文。
2. 詳見Y Combinator網站上的FAQ。
3. 如果想了解多一點可以去查《維基百科》相關條目，看完還未夠的請參閱史舟福哲學百科（Stanford Encyclopedia of Philosophy）的文章。
4. （此註釋在文章刊出後補上）用點符號，設L為「¬L」，L可以構成說謊者悖論，但有些系統中「¬X」（否定）的定義為「X→⊥」（⊥的真值永遠為F，可以任何矛盾句代替），若把L設為「L→⊥」，就會變成居里句，構成居里悖論。

後記︰文章刊出後，有些讀者表示用符號比較容易理解，在此以符號簡單重寫一次，假設讀者懂得基本命題邏輯。設C為「C→ FlatEarth」，FlatEarth代表「地球是平的」。

1. C→C　　　　　　　（同一律）
2. C→(C→FlatEarth)　 （根據1，以C的定義代入後一個C）
3. C→FlatEarth　　　 （把2簡化，兩句等價）
4. C　　　　　　　　　（根據C的定義）
5. FlatEarth　　　　　 （3,4, modus ponens）

責任編輯：tnlhk
核稿編輯：王陽翎