一個數學家的嘆息︰令人討厭的是數學課，不是數學

雖然並非親身經歷，但從我的一些同學身上，我知道數學課是不少人的噩夢︰被迫操練去搬弄那些不知所云的符號，務求得出一個所謂「標準答案」，最好是見到試題類型就像本能反應的寫下解答——甚至連證明也要背出來。

即使是數學課的「生還者」，甚至出來成績不錯的學生，也許都不會明白為甚麼有些奇怪的人（如我）會覺得數學不僅有趣，而且美麗，像藝術一樣。至於在中小學教育後的「數學恐懼症」患者，就更不消提了。

假如你是這一類人，那我就要推介你讀《一個數學家的嘆息》（A Mathematician's Lament）這本書。作者拉克哈特（Paul Lockhart）1990年在哥倫比亞大學取得數學博士學位，接下來幾年在大學任教及研究數學，其後未有繼續留在學術圈，轉到紐約市的聖安學校（Saint Ann's School）任教，橫跨中小學各級別。

《一個數學家的嘆息》英文版封面

2002年，拉克哈特寫了一篇25頁的文章，題目正是〈一個數學家的嘆息〉，文章在數學教育的圈子流傳。數學家德福林（Keith Devlin）在2007年某次演講後，從一位聽眾手上收到這篇文章，非常喜歡。於是得到作者同意下，德福林在其美國數學協會網上刊物的專欄向讀者介紹這篇文章，引起不少數學家注意，最終拉克哈特把文章內容擴充成《一個數學家的嘆息》這本小書。^[1]

數學作為一門被忽略的藝術

〈一個數學家的嘆息〉以一個音樂家的噩夢開始，在這個噩夢中，社會認為音樂能力非常重要，所以必須從小學起——但只餘下技術訓練，例如學習畫好五線譜，學生無法享受和創作音樂。拉克哈特以此比喻現時的數學教育︰只有大量運算，學生無法從中感受到數學中的美。

拉克哈特認為數學就是一門藝術，它跟其他藝術的最大分別在於，我們的文化並未體認到這件事——大家都知道音樂和繪畫是藝術，只有少數人認為數學是藝術。他在書中引用數學家哈代（G. H. Hardy）在《一個數學家的自白》（A Mathematician's Apology）的比喻︰「像畫家及詩人一樣，數學家創造模式（patterns）。假如其創造的模式比其他人更經得起時間考驗，那是因為他們的以意念製成。」

在強調數學是藝術，而非僅僅對科學有用、訓練理性思考等方面，拉克哈特在書中有力說明了這一點。不過此書最引起關注的地方，在於對數學教育的猛烈批評，拉克哈特甚至認為，現時的數學課程限定學生要認識（或背誦）若干事實，是非常無意義的事情，因為數學不在於「三角形內角和為180度」等事實，而是思考問題、尋找答案的過程。

不用規定課程內容？

書中設想的對話，討論了數學教育改革問題，從中可見拉克哈特的激進立場。拉克哈特他以薩維亞提（Salviati）代表自己，辛普里西歐（Simplicio）代表反對聲音（雙方的名字來自伽利略的《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》）。

薩維亞提相信，如果學生能夠自然地接觸數學，包括其趣味和驚喜，就會大幅改變學生對數學的觀感，也會改變我們對所謂「數學能力好」的理解。辛普里西歐質疑︰「這不就像藝術課一樣，很多小孩學不到任何東西？」（先忽略對藝術課的假設。）薩維亞提反駁道︰「他們現在就沒學到任何東西！現在的數學課完全不上更好。」辛普里西歐問︰「所以你想把數學從學校課程中移除？」薩維亞提繼續措辭強硬︰「數學早就被移除了！」

拉克哈特認為數學教育應以故事和問題為主，勾起學生的好奇心，從而思考如何解難，過程中老師可以提供協助，教授有關的數學技巧、概念。他不相信有「必須學會的數學知識」，只要有興趣，學生自然會在尋找解答的過程中發掘。

知道問題所在後，如何改善？

坊間普遍讚賞《一個數學家的嘆息》，我認為原因有三。

首先，拉克哈特那個音樂家噩夢的生動比喻，以及書中對數學課程的猛烈批評，縱使偶爾過火，仍準確指出數學教育過份著重技巧的問題。其次，他強調數學是一門被社會文化忽略的藝術，相信得到不少數學愛好者的認同，有尋獲知音之感。第三，作者在批評之餘，亦透過講解幾個簡單的數學問題，讓讀者感受到他所指「數學之美」是甚麼一回事，同時展示他所提倡的數學教育。

現在的數學教育的確有待改善，「讓所有孩子都能欣賞數學」這種理想無疑非常吸引，但我無法不去想這跟現實情況的巨大鴻溝，以及嘗試跨越這道鴻溝時面對的問題。先說清楚，我同意數學課應讓學生感受到數學是人類文化的重要部份，而非僅僅作為「科學的基礎」，也認為在課上用更多數學史及故事為各種定理、理論提供脈絡能夠提升學生的學習動機。

以下的懷疑並非因為《一個數學家的嘆息》有所不足——畢竟這本書主要目的是指出問題——而是在實現理想之前我希望弄清楚的問題。

讓學生自由探索，會否有風險？

把目光放回課室。數學老師固然受課程、時間及學生人數限制，我們又似乎難以想像完全不設基本要求、容許學生自由探索、老師從旁引導的課程。可能我們都受數學課程「荼毒」了，總覺得接受十多年的教育後，學生總得有一些「基本的」數學知識。

這種擔憂或者反映了對學生缺乏信任，不相信他們會主動學習。更宏觀地看，在自主學習的過程中，是否存在所有人都必須懂得的「基本知識」，如果存在，又是否必然要以某種形式規定、評核？萬一學生學不好，老師如何負這個責任？這關乎應否存在劃一考核方式的問題，我沒有簡單答案。