一個數學家的嘆息︰令人討厭的是數學課,不是數學

一個數學家的嘆息︰令人討厭的是數學課,不是數學
Photo Credit: Vasily Fedosenko / REUTERS / 達志影像
我們想讓你知道的是

如果你覺得上數學課毫無意義,也許可以在《一個數學家的嘆息》這本書中找到原因。

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雖然並非親身經歷,但從我的一些同學身上,我知道數學課是不少人的噩夢︰被迫操練去搬弄那些不知所云的符號,務求得出一個所謂「標準答案」,最好是見到試題類型就像本能反應的寫下解答——甚至連證明也要背出來。

即使是數學課的「生還者」,甚至出來成績不錯的學生,也許都不會明白為甚麼有些奇怪的人(如我)會覺得數學不僅有趣,而且美麗,像藝術一樣。至於在中小學教育後的「數學恐懼症」患者,就更不消提了。

假如你是這一類人,那我就要推薦你讀《一個數學家的嘆息》(A Mathematician's Lament)這本書。作者拉克哈特(Paul Lockhart)1990年在哥倫比亞大學取得數學博士學位,接下來幾年在大學任教及研究數學,其後沒有繼續留在學術圈,轉到紐約市的聖安學校(Saint Ann's School)任教,橫跨中小學各級別。

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《一個數學家的嘆息》英文版封面

2002年,拉克哈特寫了一篇25頁的文章,題目正是〈一個數學家的嘆息〉,文章在數學教育的圈子流傳。數學家德福林(Keith Devlin)在2007年某次演講後,從一位聽眾手上收到這篇文章,非常喜歡。於是得到作者同意下,德福林在其美國數學協會網上刊物的專欄向讀者介紹這篇文章,引起不少數學家注意,最終拉克哈特把文章內容擴充成《一個數學家的嘆息》這本小書。[1]

數學作為一門被忽略的藝術

〈一個數學家的嘆息〉以一個音樂家的噩夢開始,在這個噩夢中,社會認為音樂能力非常重要,所以必須從小學起——但只剩下技術訓練,例如學習畫好五線譜,學生無法享受和創作音樂。拉克哈特以此比喻現時的數學教育︰只有大量運算,學生無法從中感受到數學中的美。

拉克哈特認為數學就是一門藝術,它跟其他藝術的最大分別在於,我們的文化並未體認到這件事——大家都知道音樂和繪畫是藝術,只有少數人認為數學是藝術。他在書中引用數學家哈代(G. H. Hardy)在《一個數學家的自白》(A Mathematician's Apology)的比喻︰「像畫家及詩人一樣,數學家創造模式(patterns)。假如其創造的模式比其他人更經得起時間考驗,那是因為他們的以意念製成。」

在強調數學是藝術,而非僅僅對科學有用、訓練理性思考等方面,拉克哈特在書中有力說明了這一點。不過此書最引起關注的地方,在於對數學教育的猛烈批評,拉克哈特甚至認為,現時的數學課程限定學生要認識(或背誦)若干事實,是非常無意義的事情,因為數學不在於「三角形內角和為180度」等事實,而是思考問題、尋找答案的過程。

不用規定課程內容?

書中設想的對話,討論了數學教育改革問題,從中可見拉克哈特的激進立場。拉克哈特他以薩維亞提(Salviati)代表自己,辛普里西歐(Simplicio)代表反對聲音(雙方的名字來自伽利略的《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》)。

薩維亞提相信,如果學生能夠自然地接觸數學,包括其趣味和驚喜,就會大幅改變學生對數學的觀感,也會改變我們對所謂「數學能力好」的理解。辛普里西歐質疑︰「這不就像藝術課一樣,很多小孩學不到任何東西?」(先忽略對藝術課的假設。)薩維亞提反駁道︰「他們現在就沒學到任何東西!現在的數學課完全不上更好。」辛普里西歐問︰「所以你想把數學從學校課程中移除?」薩維亞提繼續措辭強硬︰「數學早就被移除了!」

拉克哈特認為數學教育應以故事和問題為主,勾起學生的好奇心,從而思考如何解難,過程中老師可以提供協助,教授有關的數學技巧、概念。他不相信有「必須學會的數學知識」,只要有興趣,學生自然會在尋找解答的過程中發掘。

知道問題所在後,如何改善?

坊間普遍讚賞《一個數學家的嘆息》,我認為原因有三。

首先,拉克哈特那個音樂家噩夢的生動比喻,以及書中對數學課程的猛烈批評,縱使偶爾過火,仍準確指出數學教育過份著重技巧的問題。其次,他強調數學是一門被社會文化忽略的藝術,相信得到不少數學愛好者的認同,有尋獲知音之感。第三,作者在批評之餘,亦透過講解幾個簡單的數學問題,讓讀者感受到他所指「數學之美」是怎麼一回事,同時展示他所提倡的數學教育。

現在的數學教育的確有待改善,「讓所有孩子都能欣賞數學」這種理想無疑非常吸引,但我無法不去想這跟現實情況的巨大鴻溝,以及嘗試跨越這道鴻溝時面對的問題。先說清楚,我同意數學課應讓學生感受到數學是人類文化的重要部份,而非僅僅作為「科學的基礎」,也認為在課上用更多數學史及故事為各種定理、理論提供脈絡能夠提升學生的學習動機。

以下的懷疑並非因為《一個數學家的嘆息》有所不足——畢竟這本書主要目的是指出問題——而是在實現理想之前我希望弄清楚的問題。

讓學生自由探索,會否有風險?

把目光放回課室。數學老師固然受課程、時間及學生人數限制,我們又似乎難以想像完全不設基本要求、容許學生自由探索、老師從旁引導的課程。可能我們都受數學課程「荼毒」了,總覺得接受十多年的教育後,學生總得有一些「基本的」數學知識。

這種擔憂或者反映了對學生缺乏信任,不相信他們會主動學習。更宏觀地看,在自主學習的過程中,是否存在所有人都必須懂得的「基本知識」,如果存在,又是否必然要以某種形式規定、評核?萬一學生學不好,老師如何負這個責任?這關乎應否存在劃一考核方式的問題,我沒有簡單答案。

書中用作示範的幾個數學問題,都可以利用圖像說明,不用先引入太多符號。問題是,如果進一步想介紹更多數學,這種方法是否足夠?如果不同學生沒有太多共同知識,可以怎樣教下去?這本小書暫時沒有答案,我期待拉克哈特能夠提供更多高年級的例子。

也許拉克哈特的教學經驗,讓他知道這套方法可行。他在一家藝術導向的私校任教,教學經驗是否適用於其他學校?我相信他是個好老師,然而要大規模推行教育改革,有時候不得不保守一點,我讀《一個數學家的嘆息》覺得過癮之餘,還是認為需要多一點實證研究。(雖然出發點、取態及方法截然不同,但也別忘記美國當年「新數學」改革引起的大災難。)

美學問題

此外,我不得不懷疑,拉克哈特抱有如此極端的立場,是否因為他在學習數學的過程中一帆風順,誤以為人人都能輕易學會數學技巧?這某程度上是種自我質疑︰在中小學的數學課中,我未曾經歷過挫敗感,如何確保對我來說有趣迷人的數學,不會是別人的噩夢?這總不能以「無論如何也比現在好」搪塞過去。

再者,每個人對數學的「口味」未必一樣,學習動機也不一︰有些人可能從機械式的運算中找到樂趣,再進一步了解數學;有些人可能對數學的實際應用有興趣,而去思考解決數學問題。假設真的有個學生願意做習題,卻對拉克哈特所提倡的純粹、抽象數學完全不感興趣,那應該怎麼辦?如果學生有學習動力,主動去操練習題,老師應否阻止?

即使想以「數學之美」去吸引學生,「優美」的標準又是否人人一樣?根據我的經驗,不少數學愛好者的標準相去不遠,例如都追求簡潔,但取樣可能有偏差,至少我抱有懷疑。[2] 這可能需要在數學課中引入拉克哈特提到的「數學評論」(mathematical criticism)後,再由老師按照學生的喜好去調整。

小結

無可否認,《一個數學家的嘆息》在字裏行間都讀到拉克哈特對數學的熱情。出於對數學的愛及惻隱之心,我同樣不願看見再有學生因數學而受苦。就算此書未能立即帶來翻天覆地的改變,我仍希望他能夠激勵數學老師在限制之內啟發更多學生,更希望曾經害怕、討厭數學的人,讀完之後會對數學改觀。

註︰

  1. 德福林的簡介在此,〈一個數學家的嘆息〉pdf檔在此
  2. 「暴力拆解」和機械證明較少被視為優雅的證明方式,但讀過〈The Science of Brute Force〉這篇文章後,我對這方面的數學稍為改觀(即使有時候我可算是個極簡主義者)。

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核稿編輯︰王陽翎

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