《萬物皆數》:為何音調的頻率呈簡單整數比時,聽起來悅耳?

《萬物皆數》:為何音調的頻率呈簡單整數比時,聽起來悅耳?
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我們想讓你知道的是

所有的樂器都會有一個音高,就是我們聽到的音符。畢達哥拉斯發現,音高遵循兩個明確的規則;這些規則使數字、真實世界的本質與我們對和諧悅耳的感覺,產生了直接的聯繫。

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文:法蘭克・維爾澤克(Frank Wilczek)

畢達哥拉斯:數與和諧

無論是古代七弦琴,或是現代的吉他、大提琴和鋼琴等樂器,所有弦樂器的本質大抵相同,都是琴弦振動而發出聲音。真正的聲調或音色取決於許多複雜的因素,包括琴弦的材質和「共鳴板」(共鳴器)的形狀,以及撥弄彈奏琴弦的方式。但是,所有的樂器都會有一個音高,就是我們聽到的音符。(非傳說的)畢達哥拉斯發現,音高遵循兩個明確的規則;這些規則使數字、真實世界的本質與我們對和諧悅耳的感覺(即美的一面),產生了直接的聯繫。

下面這幅畫(不是由拉斐爾所繪),描繪出畢達哥拉斯親自進行音樂和諧的實驗:

萬物皆數-48頁圖三
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圖三:中世紀歐洲的刻版畫,描繪畢達哥拉斯進行和諧樂音的實驗。從圖中推知,畢達哥拉斯改變兩個地方,觀察樂器發出的聲音如何變化。他按琴弦不同之處,改變實際振動的長度;而懸掛不同重量的重物,可改變琴弦的張力。
和諧、數量和長度:驚人的連結

畢達哥拉斯的第一條規則,是琴弦振動長度和我們聽到音調之間的關係。這項規則指出,同樣兩副琴弦,受到相同的張力,當琴弦長度的比例剛好是簡單整數比時,一起演奏會發出優美的聲音。例如,長度比為1:2時,形成一個八度音;當比例為2:3時,聽到的是五度音;當比例為3:4時,是四度音。用音符(C大調)表示,分別為兩個C(一個高八度音),以及C -G、C -F。人們發現這些音調組合很好聽,這是古典音樂,以及大多數是民謠、流行和搖滾音樂的主要組成部分。

在應用畢達哥拉斯規則時,必須考慮的長度當然是「有效長度」,也就是琴弦實際振動的長度。我們夾住琴弦,形成一個封閉的區域,就可以改變音調了。吉他手及大提琴家用左手在琴弦上按弦,就是在運用這種可能性;只是這麼做的時候,他們可能不知道自己正讓畢達哥拉斯復活了。在圖中,可看到畢達哥拉斯使用尖頭夾,方便定出精確的長度。

當音調聽起來悅耳之時,我們說這是和諧的樂音或是和弦。接下來畢達哥拉斯發現,和諧的樂音或許反映出與另一個數字世界的關係,雖然兩者乍看之下迥然不同。

和諧、數量和重量:驚人的連結

畢達哥拉斯的第二個規則涉及到琴弦的張力。張力可以很容易地用不同重物來控制與測量,如圖三。此處結果更加顯著,若張力是簡單整數的平方比,音調就會和諧悅耳;張力愈大,則音調愈高。因此,1:4的張力會產生一個八度音,以此類推。當弦樂家在表演前調整弦軸鬆緊來調音時,畢達哥拉斯又復活了。

以「萬物皆數」的證據來說,第二種關係比第一種關係更令人印象深刻。這種關係隱藏得比較好,因為數字必須經過處理(即平方),才能讓關係顯露。當然,發現後也就更令人震驚了。此外,這種關係也帶進重量,而重量和物質世界的聯繫似乎比長度更加顯著。

發現和世界觀

現在,已經討論過畢達哥拉斯學派的三大發現:直角三角形的畢氏定理,以及兩道音樂定律,一起將形狀、大小、重量及音樂和諧,用共同的線頭「數字」串連起來。

對於畢達哥拉斯學派,「三位一體」的發現已足夠撐起一個神祕的世界觀了。琴弦振動產生了音樂,這些振動不過是周期運動,也就是說每隔一段期間就會周而復始的運動。我們也看到太陽和行星在天上周期移動,推論它們在空間周期運動,所以它們必定也會發出聲音,形成充滿宇宙的天籟之音。

畢達哥拉斯喜歡唱歌,他也宣稱真正聽到了天籟之音。一些現代學者猜測,歷史上的畢達哥拉斯受耳鳴之苦;而真正的畢達哥拉斯,當然沒有。

無論如何,重點是「萬物皆數」與「數乃和諧」等道理。醉心於數學的畢達哥拉斯學派,在世界中處處看到和諧。

頻率是訊息

我認為,畢達哥拉斯的音樂規則值得視為是迄今最早發現的大自然量化法則(天文規律始自於日夜正常交替,當然更早注意到;曆法和星相利用數學來預測或重建日月星辰的位置,也是在畢達哥拉斯出生前就已是重要的科技。但是,對於特定物體的實證觀察與大自然的一般通則相當不同)。

因此,我覺得有點諷刺的是,至今還沒有完全搞懂為何這些音樂定律會成立。如今,對於聲音的產生、傳遞和接收等物理過程已有清楚許多的了解,但是物理知識與「音符悅耳」兩者之間的關連仍然捉摸不清。我整理了一套想法可望解釋清楚,相當接近於本書冥思關注的中心,因為如果對的話,將可闡明人類美感的重要起源。

我們分成三個階段解釋畢達哥拉斯規則的「為什麼」。第一個階段從琴弦振動開始,聲音進到我們的耳膜。第二個階段從耳膜開始,前進到神經末梢衝動。第三個階段從神經末梢衝動開始,變成感覺的和諧。

琴弦的振動會歷經幾項轉變,才會到心中成為訊息。振動會推擠周遭的空氣,直接造成擾動。不過,單獨一根琴弦的聲響相當微弱,一般樂器用共鳴板,發出更強的振動來回應琴弦的振動。所以,共鳴板會更用力推擠空氣。

琴弦或共鳴板附近的空氣會產生擾動並向外傳播,即往各方向散播的一種聲波。任何聲波都是壓縮與放鬆的反覆循環,在每個區域振動的空氣,會對鄰近區域施加壓力並造成振動,最終部分的聲波會通過耳道複雜的幾何結構,到達位於耳朵幾公分內的耳膜。耳膜是人耳的共鳴板,空氣振動會引起力學運動,是一種接收的過程而與樂器相反。

下文會討論耳膜振動引發的更多反應。不過在這之前,我要提一下一個簡單而基本的觀察:這麼一長串的轉變看起來或許令人困惑,有人可能會想知道一路而來,如何汲取出一個有意義的訊號,反映出琴弦的情況。重點是在一切轉變當中,訊號的一項物理特質保持不變,即在時間上振動的速率,或者說是頻率,不管振動是在琴弦、共鳴板、空氣或耳膜內(或一路往下的聽小骨、耳蝸液、基底膜和毛細胞),振動的頻率都保持相同。

因為在每個轉變時,一個階段的推拉會引發下一個階段的壓縮放鬆,一個接一個,所以不同的運動會同步,或者是說「同時」。因此,若是希望能感受到最初振動的某項特質,最有希望的就是它最後在大腦激發的振動頻率,最後我們會發現的確如此。

因此,了解畢達哥拉斯規則的第一步,是從頻率來說。今日有可信的力學方程式,可以計算琴弦長度或張力改變時,振動頻率將如何變化的情況。利用這些方程式,可發現頻率會隨長度增加而減少,隨張力平方而增加。因此,畢達哥拉斯的規則翻譯成「頻率」來說,都有同樣簡單的描述。兩者皆指出,若是音符的頻率呈現簡單整數比,一起彈奏出來的音樂就會悅耳動聽。

和諧的理論

現在回到故事的第二階段。耳膜附著三聽小骨的系統,接著又連接到膜狀的「卵圓窗」,開口朝很像蝸牛殼的結構「耳蝸」。耳蝸是關鍵的聽覺器官,大致類似於眼睛對視覺的角色。耳蝸裡充滿了液體,會隨卵圓窗的振動而振動。浸在液體中的是順著耳蝸螺紋旋入、漸漸變細的基底膜。與基底膜平行的是柯蒂氏器,源自琴弦的訊息經過多次轉換後,就是在柯蒂氏器形成神經衝動。這些細節轉變對專家來說複雜又迷人,但是要了解全貌很簡單,不需提細節。全貌是原來振動的頻率會轉換成神經元的衝動,也具有相同的頻率。

這些轉換有個特質很重要且特別優美,帶有畢達哥拉斯的精神,發現人貝凱希(George VonBekesy)並贏得一九六一年的諾貝爾獎。由於基底膜逐漸變薄,不同的部分會以不同的頻率振盪:較厚的部分有更多的慣性,所以振動得比較慢(即頻率較低),較薄部分則以較高的頻率振動(這種作用造成男女之間聲音的典型音調差異,因為青春期男性聲帶明顯變厚,使得振動頻率較低,造成聲音低沉)。

因此,當聲音在經過許多振動後,帶動周遭的液體運動,基底膜的反應會隨厚薄不同處而不同,低頻的聲音會讓較厚的部分振動得較為劇烈,高頻的聲音會讓較薄的部分振動得較為劇烈。在這種方式下,頻率的訊息就編碼成為位置的訊息了!

如果耳蝸是負責看的眼睛,柯蒂氏器就是視網膜了。柯蒂氏器與毗鄰的基底膜平行,其結構精細複雜,但大抵由毛細胞和神經元組成,每個神經元對應一個毛細胞。基底膜的振動攪動液體,對毛細胞施力,毛細胞會運動回應,觸動對應的神經元發射電子訊號。發射的頻率與刺激的頻率相同,也是與原始音調相同的頻率(致專家:發射模式帶有很多雜訊,但是包含很強成分的訊號頻率)。

因為柯蒂氏器毗鄰基底膜,神經元繼承基底膜與位置相關的頻率反應。這對於我們的和弦感覺非常重要,因為這意味著當幾個音調同時發出聲音時,訊號不會完全被打亂,不同的神經元會優先回應不同的音調!這是生理機制,讓我們能好好分辨不同的音調。

換句話說,我們的內耳遵循牛頓的建議,運用他對光的分析,將聽到的聲音進行絕佳的分析,變成純粹的音調(後面會討論到,人眼分析光的訊號頻率或色彩組成的能力,是根據不同的原則,但視覺辨頻能力比起分析聲音的能力遜色多了)。

這開啟了故事的第三階段。此時,從柯蒂氏器神經末梢傳來的訊號組合起來,並傳遞到大腦後面的神經層。我們對這方面的認識極為有限,但是唯有在這裡才終於可以碰觸到我們主要的問題:

為何音調的頻率呈簡單整數比之時,聽起來悅耳呢?

讓我們思考一下,當兩種不同頻率的聲音同時響起時,大腦會收到什麼訊號呢?這個時候有兩組反應強烈的末梢神經元,與刺激它振動的琴弦相同的頻率。神經末梢往大腦發射訊號,到達「更高」層次的神經元,在那裡訊號獲得整合。

下個層次的一些神經元,將會接收到兩組末梢神經元的輸入。如果神經末梢的頻率呈簡單整數比,那麼訊號將同步化(為了便於討論,這裡將情況簡化,忽略噪音並以精準的周期處理)。例如,如果音調形成一個八度音,一組發射頻率是另一組兩倍,比較慢的那一組每次發射訊號將會與前面那一組形成重複、可預期的關係。那麼,對於兩組訊號都敏感的神經元會得到一個重複的模式,可以預測又容易解讀。

根據以往的經驗或是與生俱來的本能,這些次級神經元(或是接下來詮釋行為的更高階神經元)將會「了解」訊號,因為能夠簡單地預期未來的輸入(即更多的重複),而對未來行為的簡單預測能夠在許多振動上獲得證實,直到聲音產生質的變化。

需要注意的是,人類可以聽到聲音振動的頻率,範圍從每秒幾十次到幾千次,所以即使簡短的聲音也是由許多重複振動造成,除了極端低頻;而在低頻部分,和諧的感覺會漸漸變弱,與我們的思緒一致。

更高階的神經元會結合各組訊號,需要和諧一致的輸入,才能做好工作。所以,如果訊號組合能夠製造有意義的訊息,並成功預測,那麼高階神經元就給予某種積極的反饋來奬勵,或至少不要干擾打斷。另外一方面,如果訊號組合產生錯誤的期待時,錯誤將會傳播到高階的神經元,最後產生不適,並且想要終止。

什麼時候訊號組合會造成錯誤的預測呢?當主信號幾乎同步卻未完全同步時,就會發生這種情況。因為此時振動會在幾個周期時間內加強,使訊號組合導出一種模式,並預期這套模式會繼續下去,但是這預期卻很快被打破!的確,當音調只有些微差距時,例如C和C#一併彈奏的聲音是讓人最難受的。

如果這種想法是對的,和諧與否的基礎就是認知初期便能進行成功的預測(這種預測不需要,通常也未涉及意識)。成功的預測讓我們感受到愉悅或美麗,而不成功的預測則成為痛苦或醜陋的來源。自然而然,若能擴大經驗和學習,或許能聽見原先隱藏的和諧,並消除痛苦的根源。

從歷史上看,西方音樂可接受的音調組合變化隨著時間愈來愈豐富,個人在接觸學習下,也可以享受原先覺得不太悅耳的音調組合。事實上,如果人類天生喜愛利用「學習」來進行成功的預測,那麼太容易的預測反倒無法帶來最大的快樂,因為快樂也應該包含新奇才對。

相關書摘 ▶《萬物皆數》:確定光具備電磁性質的劃時代理論奠定者——馬克士威

書籍介紹

本文摘錄自《萬物皆數——諾貝爾物理獎得主探索宇宙深層設計之美》,貓頭鷹出版
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作者:法蘭克・維爾澤克(Frank Wilczek)
譯者:周念縈

物理世界體現了美麗。
物理世界充滿了痛苦、紛亂與壓抑。
無論如何,我們都不該忘記另一面的存在。——維爾澤克

2004年諾貝爾物理獎得主維爾澤克,從研究自然界的最小組成單位而獲獎,繼而轉身朝向廣袤的世界,不禁提出大哉問:宇宙萬物的結構是否體現了「美」的設計?

從波耳原子模型中看見駐波;從愛因斯坦相對論中看見伽利略不變性;從量子色動力學中又再度看見馬克士威。原來世界不只是可以用物理法則詮釋,乍看不同的法則彼此之間彷若鏡面裡外,相互輝映。看完此書,你將會發現,自然的基礎是如此精簡至極,極度對稱的方程式可將其特性表露無遺。 而物體構成的世界又是如此廣大無邊,變化無窮無盡。

書末收入作者精心編纂的《物理小辭典》,凡是涉及內文的重要的名詞與概念都加以定義與說明,以饗喜歡知識卻不見得是科學專家的讀者;或配合內文延伸閱讀,或當成獨立的科學小辭典。為方便查閱,中文版特別採取英文排序,由封底開卷。

萬物皆數
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責任編輯:潘柏翰
核稿編輯:翁世航

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