《萬物皆數》:為何音調的頻率呈簡單整數比時,聽起來悅耳?

《萬物皆數》:為何音調的頻率呈簡單整數比時,聽起來悅耳?

我們想讓你知道的是

所有的樂器都會有一個音高,就是我們聽到的音符。畢達哥拉斯發現,音高遵循兩個明確的規則;這些規則使數字、真實世界的本質與我們對和諧悅耳的感覺,產生了直接的聯繫。

文:法蘭克・維爾澤克(Frank Wilczek)

畢達哥拉斯:數與和諧

無論是古代七弦琴,或是現代的吉他、大提琴和鋼琴等樂器,所有弦樂器的本質大抵相同,都是琴弦振動而發出聲音。真正的聲調或音色取決於許多複雜的因素,包括琴弦的材質和「共鳴板」(共鳴器)的形狀,以及撥弄彈奏琴弦的方式。但是,所有的樂器都會有一個音高,就是我們聽到的音符。(非傳說的)畢達哥拉斯發現,音高遵循兩個明確的規則;這些規則使數字、真實世界的本質與我們對和諧悅耳的感覺(即美的一面),產生了直接的聯繫。

下面這幅畫(不是由拉斐爾所繪),描繪出畢達哥拉斯親自進行音樂和諧的實驗:

萬物皆數-48頁圖三
Photo Credit: 貓頭鷹出版
圖三:中世紀歐洲的刻版畫,描繪畢達哥拉斯進行和諧樂音的實驗。從圖中推知,畢達哥拉斯改變兩個地方,觀察樂器發出的聲音如何變化。他按琴弦不同之處,改變實際振動的長度;而懸掛不同重量的重物,可改變琴弦的張力。

和諧、數量和長度:驚人的連結

畢達哥拉斯的第一條規則,是琴弦振動長度和我們聽到音調之間的關係。這項規則指出,同樣兩副琴弦,受到相同的張力,當琴弦長度的比例剛好是簡單整數比時,一起演奏會發出優美的聲音。例如,長度比為1:2時,形成一個八度音;當比例為2:3時,聽到的是五度音;當比例為3:4時,是四度音。用音符(C大調)表示,分別為兩個C(一個高八度音),以及C -G、C -F。人們發現這些音調組合很好聽,這是古典音樂,以及大多數是民謠、流行和搖滾音樂的主要組成部分。

在應用畢達哥拉斯規則時,必須考慮的長度當然是「有效長度」,也就是琴弦實際振動的長度。我們夾住琴弦,形成一個封閉的區域,就可以改變音調了。吉他手及大提琴家用左手在琴弦上按弦,就是在運用這種可能性;只是這麼做的時候,他們可能不知道自己正讓畢達哥拉斯復活了。在圖中,可看到畢達哥拉斯使用尖頭夾,方便定出精確的長度。

當音調聽起來悅耳之時,我們說這是和諧的樂音或是和弦。接下來畢達哥拉斯發現,和諧的樂音或許反映出與另一個數字世界的關係,雖然兩者乍看之下迥然不同。

和諧、數量和重量:驚人的連結

畢達哥拉斯的第二個規則涉及到琴弦的張力。張力可以很容易地用不同重物來控制與測量,如圖三。此處結果更加顯著,若張力是簡單整數的平方比,音調就會和諧悅耳;張力愈大,則音調愈高。因此,1:4的張力會產生一個八度音,以此類推。當弦樂家在表演前調整弦軸鬆緊來調音時,畢達哥拉斯又復活了。

以「萬物皆數」的證據來說,第二種關係比第一種關係更令人印象深刻。這種關係隱藏得比較好,因為數字必須經過處理(即平方),才能讓關係顯露。當然,發現後也就更令人震驚了。此外,這種關係也帶進重量,而重量和物質世界的聯繫似乎比長度更加顯著。

發現和世界觀

現在,已經討論過畢達哥拉斯學派的三大發現:直角三角形的畢氏定理,以及兩道音樂定律,一起將形狀、大小、重量及音樂和諧,用共同的線頭「數字」串連起來。

對於畢達哥拉斯學派,「三位一體」的發現已足夠撐起一個神祕的世界觀了。琴弦振動產生了音樂,這些振動不過是周期運動,也就是說每隔一段期間就會周而復始的運動。我們也看到太陽和行星在天上周期移動,推論它們在空間周期運動,所以它們必定也會發出聲音,形成充滿宇宙的天籟之音。

畢達哥拉斯喜歡唱歌,他也宣稱真正聽到了天籟之音。一些現代學者猜測,歷史上的畢達哥拉斯受耳鳴之苦;而真正的畢達哥拉斯,當然沒有。

無論如何,重點是「萬物皆數」與「數乃和諧」等道理。醉心於數學的畢達哥拉斯學派,在世界中處處看到和諧。

頻率是訊息

我認為,畢達哥拉斯的音樂規則值得視為是迄今最早發現的大自然量化法則(天文規律始自於日夜正常交替,當然更早注意到;曆法和星相利用數學來預測或重建日月星辰的位置,也是在畢達哥拉斯出生前就已是重要的科技。但是,對於特定物體的實證觀察與大自然的一般通則相當不同)。

因此,我覺得有點諷刺的是,至今還沒有完全搞懂為何這些音樂定律會成立。如今,對於聲音的產生、傳遞和接收等物理過程已有清楚許多的了解,但是物理知識與「音符悅耳」兩者之間的關連仍然捉摸不清。我整理了一套想法可望解釋清楚,相當接近於本書冥思關注的中心,因為如果對的話,將可闡明人類美感的重要起源。

我們分成三個階段解釋畢達哥拉斯規則的「為什麼」。第一個階段從琴弦振動開始,聲音進到我們的耳膜。第二個階段從耳膜開始,前進到神經末梢衝動。第三個階段從神經末梢衝動開始,變成感覺的和諧。

琴弦的振動會歷經幾項轉變,才會到心中成為訊息。振動會推擠周遭的空氣,直接造成擾動。不過,單獨一根琴弦的聲響相當微弱,一般樂器用共鳴板,發出更強的振動來回應琴弦的振動。所以,共鳴板會更用力推擠空氣。

琴弦或共鳴板附近的空氣會產生擾動並向外傳播,即往各方向散播的一種聲波。任何聲波都是壓縮與放鬆的反覆循環,在每個區域振動的空氣,會對鄰近區域施加壓力並造成振動,最終部分的聲波會通過耳道複雜的幾何結構,到達位於耳朵幾公分內的耳膜。耳膜是人耳的共鳴板,空氣振動會引起力學運動,是一種接收的過程而與樂器相反。

下文會討論耳膜振動引發的更多反應。不過在這之前,我要提一下一個簡單而基本的觀察:這麼一長串的轉變看起來或許令人困惑,有人可能會想知道一路而來,如何汲取出一個有意義的訊號,反映出琴弦的情況。重點是在一切轉變當中,訊號的一項物理特質保持不變,即在時間上振動的速率,或者說是頻率,不管振動是在琴弦、共鳴板、空氣或耳膜內(或一路往下的聽小骨、耳蝸液、基底膜和毛細胞),振動的頻率都保持相同。


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