被誤用的哥德爾「不完備性」定理

被誤用的哥德爾「不完備性」定理
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我們想讓你知道的是

「哥德爾不完備性定理」是數學上非常重要而且經常被誤解的定理。

在本網台灣版讀到一篇文章[1],摘錄自《生命解碼︰從量子物理、數學演算,探索人類意識創造宇宙的生命真相》一書,提及哥德爾不完備性定理(Gödel's incompleteness theorems)。這是數理邏輯中非常容易誤解的定理,而該篇文章作者正正誤解了這定理。

除了上述書摘外,我沒讀過《生命解碼》其他章節,但簡介提到「量子力學應該是靈魂的最佳見證者」,讀到這一句已認為應該小心對待,特別是作者林文欣未有任何物理學背景,非常容易受坊間討論量子力學的文章誤導。無論是胡言亂語的偽科學,抑或出於好意簡化艱深內容、略去數學公式的科普文章,都會令外行人讀完後有錯覺以為自己了解量子力學。

該篇書摘中林文欣把「不確定性」及「不完備性」並置,但主要還是談不完備性定理,因此本文就不再多說量子力學的東西,集中討論數理邏輯。

悖論與不可判定命題

要談論哥德爾不完備性定理,自然少不免講述背景。林文欣表示︰

上世紀初,數學家在經過三次數學危機後,就一直想找到一個「完備」的絕對真理,一個能證明世上所有數學公理是真還是僞的演算法。因為之前,數學一直存在太多「既不能證明是真又不能證明是偽」的命題。

一,形式系統(formal system)中的公理就是最基本的命題[2],透過公理按變形規則轉換出來的才是定理。所以重點並非證明數學「公理」,而是「定理」。

二,他想說此前數學發現了一些「悖論」(paradox),但文中誤稱為「駁論」。相關的數學悖論有一個特點︰無論假設某命題是真是假,都會推出矛盾的結論。這跟「既不能證明是真又不能證明是偽」有重大分別,無法證明真偽的命題應是「不可判定」(undecidable),悖論存在則代表相應的數學系統隱含矛盾——根據古典邏輯中的「爆炸原理」,證明了矛盾句就可以證明任何命題。[3]

林文欣又聲稱不完備性定理「說明」了以下三件事︰

  1. 不是所有對的東西都可以被驗證,就像直覺一樣。
  2. 也沒有一種理論或真理可以永久解釋而不被超越。
  3. 同時也告訴我們,有些東西我們是不可能知道的。

當然都有問題,但容我先花點篇幅講述背景再解釋。

希爾伯特的形式主義

19世紀開始,數學變得越來越抽象,不同領域發展出各套公理。在第三次數學危機期間,數學家發現原有的「樸素集合論」(naive set theory)隱含矛盾,令他們關注數學本身是否有一個可靠的根基——例如一套可以推論出各門數學的公理系統。當時有幾個學派嘗試回答這問題,但本文重點只會放在形式主義(formalism),更準確一點說是數學家希爾伯特(David Hilbert)的形式主義。[4]

希爾伯特認為可以把較複雜的數學領域,化約至較簡單的數學系統,最終數學界只需要確保算術系統的一致性。問題是,如何用數學去證明數學系統一致?

他提出將數學變成一個形式系統,一個只有符號沒有文字的系統。公理就是一堆特定符號串,然後按明確的規則「搬弄符號」。符號代表的是數學命題,形式系統中的公理,正如對應數學系統中的公理,那些「搬弄符號」的規則就是數學上合法的推導步驟。

一致性與完備性

希爾伯特認為,當找到這套系統之後可以問一個問題︰這個系統從有限的符號串(公理)出發,按有限的規則轉換,會不會產生代表矛盾句——例如「0=1」——的符號?直觀上,這是數學可以處理的問題,就像可以證明國際象棋中不可能同時有兩隻同色「象」(主教) 在同一顏色的格中出現般。當然,證明仍然需要用到數學,希爾伯特認為證明如果只涉及有限的概念就可以接受。

2017-12-11更新︰感謝讀者秦紀維留言指出,根據國際象棋規則,在罕見的低升變(underpromotion,不升成后)情況下,卒可以變成象,因此容許多於兩隻同色主教在同顏色格。

假如能夠證明這個形式系統不會產生代表「0=1」的符號,就代表系統不會導致矛盾——否則的話,一個矛盾可以推出其他矛盾句。但是,形式系統不產生矛盾可能是因為本身太簡陋,所以希爾伯特有另一個要求︰任何能夠在該系統中表達的命題(嚴格來說是閉公式),都能夠證明或否證(即證明其否定句)。

不矛盾的要求稱為「一致性」,能證明或否證所有數學命題的要求稱為「完備性」。[5]

不完備性定理

要盡量淺白去介紹哥德爾不完備性定理的話,可以這樣說︰假設某個形式系統一致,而且可以表達基本的數學(如算術)[6],這個系統就不可能滿足「完備性」此條件。引伸的一個結果就是,用來描述算術的形式系統中,存在一些不可判定命題,無法證明也無法否證。此外,任何可以用來表示算術的系統,例如數學界普遍使用的ZFC集合論,都受到同樣限制(著名的連續統假設就是ZFC中的不可判定命題)。

讀者必須注意,在數理邏輯的相關討論,「證明」這個概念是相對於形式系統的,當提到「命題A不可證明」時,說的其實是「命題A不可在形式系統中S中證明」。事實上,要證明「不可判定命題」非常簡單,把它納入成為新公理就可以了——只是這個新形式系統又會有相應的不可判定命題。

天才橫溢的數學家馮諾曼(John von Neumann)得悉哥德爾的證明後,立即意識到其重要,並向他了解證明細節。後來馮諾曼發現了一件事︰哥德爾在算術系統中構造了一句不可判定命題,成功證明算術系統不可能完備,然而這蘊涵了另一重要命題——代表「『0=1』在本系統中不可證明」——也不可判定。可是哥德爾回覆他早已發現這一點,並於幾天前寄出手稿,後世稱這結果為「哥德爾第二不完備性定理」。[7]


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