為甚麼「1+2+3+4+...」的答案,會是-1/12?

為甚麼「1+2+3+4+...」的答案,會是-1/12?
我們想讓你知道的是

把所有正整數加起來,居然會是一個負數,還要是分數?這並非因為數學家亂來。

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130年前的今天,印度數學奇才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)誕生。拉馬努金只接受過少量正式的數學訓練,然而極度喜愛數學,更獨自發現了不少公式和定理。

1913年,拉馬努金寫信給英國數論專家哈代(G. H. Hardy),並附上九頁他自己發現的公式。起初哈代以為是惡作劇,但認得當中部分公式,更見到前所未見的結果。讀完信件後,哈代表示「從沒見過類似的東西」,更認為拉馬努金的定理必然真確,因為若非如此,「沒有人有想像力去創作這些內容」。

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Photo Credit: Konrad Jacobs, CC BY-SA 2.0
拉馬努金

哈代把信交給好友兼合作對象利特活(J. E. Littlewood)閱讀,兩人討論後哈代認為拉馬努金是最高級別的數學家。哈代邀請拉馬努金到英國,拉馬努金起初拒絕,後來在其母親同意後,1914年到哈代所在的劍橋大學。2016年的電影《數造傳奇》(The Man Who Knew Infinity)也有講述這段故事。

32歲離開人世的拉馬努金雖然早逝,但他為後世留下大量數學公式,繼續推動數學發展。

看來不合理的公式

在拉馬努金的生日,想談談他寫下的一條奇特公式︰

1_+_2_+_3_+_4_+_⋯

把所有正整數加起來,居然會是一個負數,還要是分數?這不是惡作劇,拉馬努金在1913年寫給哈代的第二封信提到這項結果,但他也小心翼翼去解釋其方法,以免哈代認為自己瘋狂。

那麼,為何數學家會接受看來如此不合理的答案?

如何把「無限個數」加起來?

首先要注意的是,這條公式雖然用上加號和等號,但公式中這兩個符號的意義跟我們在小學數學課學到的有別,最重要差異在於,以前我們學的加法只適用於有限個數字相加,而上述公式左方看來是「把無限個數相加」。(嚴格來說,小時候學的加法只適用於兩個數字相加,但我們已習慣略去括號。)

假如你學過一點數學分析,會知道有時候數學家可以把「無限個數」相加,例如 1+½+¼+⅛+...(每一項都是前一項的一半)的「標準答案」是2。這個「標準答案」要到19世紀才出現,在這以前,數學界並未有嚴格定義可以說清楚「1+½+¼+⅛+... = 2」是甚麼意思。

到了現代,「1+½+¼+⅛+... = 2」這條算式就不難理解。雖然算式左手邊有無限多項,但我們可以先看它的有限部分︰1, 1+½, 1+½+¼, 1+½+¼+⅛, …,每一項是比前一項加上一個越來越小的分數。數學家發現,如果這樣理解,左方就是一個無窮數列,而它的極限是2——意思是,數列會越來越接近2,想要多接近都可以,但永遠不會比2大(也不會等如2)。

無窮級數

粗略來說,把一個數列的所有元素加起來就稱為「級數」。如果數列本身有限,其級數就容易定義;如果數列本身有無限多項,其級數就是一個「無窮級數」,數學家會利用「極限」此概念如上文般定義其數值(但也有些情況無法定義,見下文)。當然,數學家會用一些符號表示,以便更嚴謹和清晰表達上述概念,不過這不是數學課,我就不詳細解說了。

古希臘時代的芝諾(Zeno of Elea)曾提出多個跟運動有關的著名悖論,也跟這類「無窮級數」有關,那時候的數學家未能完全解答,不過自從數學界發展出「極限」的概念後,就不再成為問題了。

然而這似乎未能解決原初的問題——數學家知道如何計算無限個數字相加,但拉馬努金的公式看來仍然很怪。

賦予數值的方法

原因是,數學家原本處理的是「收斂級數」,例如「1+½+¼+⅛+... 」,這類級數會有極限;然而像是「1+2+3+...」般沒有上限,或者「1-1+1-1+...」般「搖擺不定」的級數,就稱為「發散級數」,難以用上「極限」的定義。研究級數的數學家設計了不同測試,以判斷各種無窮級數是「收斂」抑或「發散」。

「1+2+3+4+...」是個發散級數,數學家不能用處理收斂級數的方式定義其數值。於是有數學家想出不同方法,嘗試為部分發散級數賦予數值——這些方法偏離了無限級數中使用極限概念的定義,因為在該定義下發散級數並沒有數值。

拉馬努金的定義用上歐拉—麥勞林公式(Euler–Maclaurin formula),另一個方法則對著名的黎曼ζ函數進行解析延拓(analytic continuation),得出答案都是-1/12。但這些數學比較複雜,本文篇幅有限不會講解。

YouTube頻道《Numberphile》其中一集,曾用上比較直觀的方法去解釋有關公式︰

雖然影片看來容易理解,但這種計算方法並不嚴謹,在計算某些級數時更會引起矛盾。(影片引起爭議,該團隊其後發放另一段影片及首段影片被刪剪片段,以較嚴謹的方法解釋結果,影片見文末。)

計算無限個數字相加,本來就是非常違反直覺的事情,雖然拉馬努金也曾用類似的直觀方法推導結果,但要知道數學家為何會認為無限個數字「加起來」是個分數,最好還是認真去研究有關公式。(在發現新公式時,以直觀方法輔助並無問題,然而最終必須能用嚴格方式證明。)

怎樣才應該接受新定義?

不過,如果你想知道的是為甚麼數學家會接受這種奇怪定義,以下這個答案相信不用懂太多數學也能夠明白。

正如上文所述,加法的定義只限於兩個以至有限個數字相加,要加上「無限個」數字,這其實就不再是原本的加法。當原來的定義不適用時,數學家可以選擇擴張「加法」的定義,讓加法在其他問題上都適用。

至於怎樣定義才算正確,其實沒有標準答案——因為定義本身可以非常任意。要是你喜歡的話,把所有發散級數的值定義為42亦無不可,只是這個定義看來沒有太大用處。

數學家選擇新定義時,除了不能自相矛盾的基本要求外,還有一些參考標準,例如應用層面、簡潔程度、能否盡量保留原本定義的特性等,但當這些標準有衝突時,則取決於相關領域的數學家認為甚麼重要。有時候創造新定義是為了解決問題,而只要解決得到有關問題並形成共識,數學家就會接受新定義。

1+2+3+4+... = -1/12,很奇怪嗎?是的,但這其實是一項專門的數學結果,只是用上我們較為熟悉的符號,才會令人以過往學到的數學知識及直覺去嘗試理解,並發覺難以明白。不理解絕無問題,只是我們必須記住,要先花時間去學習相關研究,知道要處理的是甚麼問題,方可明白這條公式的意思。

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參考資料︰

《Numberphile》團隊的另一段影片︰

核稿編輯:歐嘉俊