為甚麼「1+2+3+4+...」的答案,會是-1/12?

為甚麼「1+2+3+4+...」的答案,會是-1/12?

我們想讓你知道的是

把所有正整數加起來,居然會是一個負數,還要是分數?這並非因為數學家亂來。

130年前的今天,印度數學奇才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)誕生。拉馬努金只接受過少量正式的數學訓練,然而極度喜愛數學,更獨自發現了不少公式和定理。

1913年,拉馬努金寫信給英國數論專家哈代(G. H. Hardy),並附上九頁他自己發現的公式。起初哈代以為是惡作劇,但認得當中部分公式,更見到前所未見的結果。讀完信件後,哈代表示「從沒見過類似的東西」,更認為拉馬努金的定理必然真確,因為若非如此,「沒有人有想像力去創作這些內容」。

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Photo Credit: Konrad Jacobs, CC BY-SA 2.0
拉馬努金

哈代把信交給好友兼合作對象李特爾伍德(J. E. Littlewood)閱讀,兩人討論後哈代認為拉馬努金是最高級別的數學家。哈代邀請拉馬努金到英國,拉馬努金起初拒絕,後來在其母親同意後,1914年到哈代所在的劍橋大學。2016年的電影《天才無限家》(The Man Who Knew Infinity)也有講述這段故事。

32歲離開人世的拉馬努金雖然早逝,但他為後世留下大量數學公式,繼續推動數學發展。

看來不合理的公式

在拉馬努金的生日,想談談他寫下的一條奇特公式︰

1_+_2_+_3_+_4_+_⋯

把所有正整數加起來,居然會是一個負數,還要是分數?這不是惡作劇,拉馬努金在1913年寫給哈代的第二封信提到這項結果,但他也小心翼翼去解釋其方法,以免哈代認為自己瘋狂。

那麼,為何數學家會接受看來如此不合理的答案?

如何把「無限個數」加起來?

首先要注意的是,這條公式雖然用上加號和等號,但公式中這兩個符號的意義跟我們在小學數學課學到的有別,最重要差異在於,以前我們學的加法只適用於有限個數字相加,而上述公式左方看來是「把無限個數相加」。(嚴格來說,小時候學的加法只適用於兩個數字相加,但我們已習慣略去括號。)

假如你學過一點數學分析,會知道有時候數學家可以把「無限個數」相加,例如 1+½+¼+⅛+...(每一項都是前一項的一半)的「標準答案」是2。這個「標準答案」要到19世紀才出現,在這以前,數學界並未有嚴格定義可以說清楚「1+½+¼+⅛+... = 2」是甚麼意思。

到了現代,「1+½+¼+⅛+... = 2」這條算式就不難理解。雖然算式左手邊有無限多項,但我們可以先看它的有限部分︰1, 1+½, 1+½+¼, 1+½+¼+⅛, …,每一項是比前一項加上一個越來越小的分數。數學家發現,如果這樣理解,左方就是一個無窮數列,而它的極限是2——意思是,數列會越來越接近2,想要多接近都可以,但永遠不會比2大(也不會等如2)。

無窮級數

粗略來說,把一個數列的所有元素加起來就稱為「級數」。如果數列本身有限,其級數就容易定義;如果數列本身有無限多項,其級數就是一個「無窮級數」,數學家會利用「極限」此概念如上文般定義其數值(但也有些情況無法定義,見下文)。當然,數學家會用一些符號表示,以便更嚴謹和清晰表達上述概念,不過這不是數學課,我就不詳細解說了。

古希臘時代的芝諾(Zeno of Elea)曾提出多個跟運動有關的著名悖論,也跟這類「無窮級數」有關,那時候的數學家未能完全解答,不過自從數學界發展出「極限」的概念後,就不再成為問題了。

然而這似乎未能解決原初的問題——數學家知道如何計算無限個數字相加,但拉馬努金的公式看來仍然很怪。

賦予數值的方法

原因是,數學家原本處理的是「收斂級數」,例如「1+½+¼+⅛+... 」,這類級數會有極限;然而像是「1+2+3+...」般沒有上限,或者「1-1+1-1+...」般「搖擺不定」的級數,就稱為「發散級數」,難以用上「極限」的定義。研究級數的數學家設計了不同測試,以判斷各種無窮級數是「收斂」抑或「發散」。

「1+2+3+4+...」是個發散級數,數學家不能用處理收斂級數的方式定義其數值。於是有數學家想出不同方法,嘗試為部分發散級數賦予數值——這些方法偏離了無限級數中使用極限概念的定義,因為在該定義下發散級數並沒有數值。

拉馬努金的定義用上歐拉—麥勞林公式(Euler–Maclaurin formula),另一個方法則對著名的黎曼ζ函數進行解析延拓( analytic continuation),得出答案都是-1/12。但這些數學比較複雜,本文篇幅有限不會講解。

YouTube頻道《Numberphile》其中一集,曾用上比較直觀的方法去解釋有關公式︰

雖然影片看來容易理解,但這種計算方法並不嚴謹,在計算某些級數時更會引起矛盾。(影片引起爭議,該團隊其後發放另一段影片及首段影片被刪剪片段,以較嚴謹的方法解釋結果,影片見文末。)

計算無限個數字相加,本來就是非常違反直覺的事情,雖然拉馬努金也曾用類似的直觀方法推導結果,但要知道數學家為何會認為無限個數字「加起來」是個分數,最好還是認真去研究有關公式。(在發現新公式時,以直觀方法輔助並無問題,然而最終必須能用嚴格方式證明。)

怎樣才應該接受新定義?

不過,如果你想知道的是為甚麼數學家會接受這種奇怪定義,以下這個答案相信不用懂太多數學也能夠明白。

正如上文所述,加法的定義只限於兩個以至有限個數字相加,要加上「無限個」數字,這其實就不再是原本的加法。當原來的定義不適用時,數學家可以選擇擴張「加法」的定義,讓加法在其他問題上都適用。


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Photo Credit:TNL Brand Studio

我們想讓你知道的是

《國際大風吹|行動講堂》Ep2聚焦於戰爭中最大受害者──砲火下流離失所的人民,節目透過影像與聲音,帶領觀眾凝視全球戰爭中流離失所的人們,認識世界展望會長達數十年的難民人道救援經驗。

由李漢威、蔡尚樺聯手主持的直播節目《國際大風吹|行動講堂》第2集已於6月14日首度播出,本次特別邀請華人紀實攝影師張雍、台灣世界展望會會長李紹齡對談,帶領觀眾凝視戰爭中流離失所的人們,聆聽相遇與別離的故事,也讓觀眾認識世界展望會長達數十年的難民人道救援經驗,以及他們對於每場救援行動專業審慎的態度。這些因你我支持而促成的救援行動,都是為了重新牽起人際間被鋼鐵與火藥所摧毀的繫帶,世界展望會的工作人員則背負著託付與使命親臨現場,陪伴人們度過戰火下的煎熬苦難。

「我們不只看到《月球背面的逃難場景》,還聽到月球背面的哭聲,所以世界展望會從來沒有選擇,只有無條件的接納與支持。」

數據解析:你我未曾意識到的「月球背面」

俄烏戰爭打響至今已逾三個多月,因戰事被迫離家的難民人數也急速攀升。根據聯合國難民署統計,截至5月29日已經有超過680萬人自烏克蘭境內出逃至波蘭、匈牙利、羅馬尼亞等鄰近歐洲國家,國際移民組織(IOM)的一項研究也預估有將近800萬人在烏克蘭境內流離失所,總計相當於將近四分之一的烏克蘭國民因為無情戰事淪為難民。

你可能不知道的是,當烏克蘭戰事成為網路熱搜的同時,歐洲大陸遙遠的另一端也存在一群面臨相同困境的人們。根據聯合國難民署的統計數據,截至2020年底全球共有8240萬人被迫流離失所,受俄烏戰爭影響產生的難民僅占全球難民總數的18%。這意味著全球戰火不只存在於烏克蘭與俄羅斯之間,當我們揭開數據,就會發現其中還包括敘利亞內戰、阿富汗戰爭,以及中東或非洲部分地區長久性的區域武裝衝突。而更令人不忍的是,在8240萬流離失所的難民中,兒童人數占比竟高達42%,這些本與戰火紛爭最不相干的族群,卻需要承受這一切悲劇性的後果,甚至改變了他或她的一生。

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Photo Credit:節目來賓張雍提供
隨著天災人禍不斷發生,從數年前的敘利亞、阿富汗,再到近期的烏克蘭,難民遷徙事件的發生愈發頻繁,甚至連進行多年難民紀錄的來賓張雍都想不到,短短十多年內竟會連續看到如此規模的難民潮。

走入真實現場:救援最前線的世界展望會事工

截圖
Photo Credit:TNL Brand Studio
根據世界展望會統計,敘利亞十年來戰爭的影響為例,已有超過6000名孩童喪生於戰火,也導致超過2百多萬名孩童無法上學或生活發生問題。

「在普遍國際的人道救援中,有一種描述是『戰爭已經逐漸敘利亞化』。」國際戰火衝突的時間拉長,不只剝奪以千萬計的孩子們在正常生活環境下溫飽、健康成長的權利,複雜的環境更讓兒童拐騙及販賣、女性保護問題隨之而來。

這些數字不只意味者數百萬家庭的不幸遭遇,更是戰爭對社會關係的撕裂創口;只有當我們直視數字時才會猛然驚覺,原來世界比想像的更加不平靜。特別來賓張雍也感慨道,這些數字正是驅使他走入現場的動機之一,他想要與人們面對面的互動,相處、攀談、接觸……藉此豐滿個體生命的輪廓,讓人真正為人,不再只是數據中的千百萬分之一。而就在奔走無數逃難前線,體會萬千生離死別後的某天清晨,他一如往常地在路上慢跑,突然瞥見有隻毛毛蟲正緩慢地在路上爬行,於是他停下來,小心翼翼地將其安置路旁,又跑了幾步以後,他猛然發現道路上竟然還有好幾十隻毛毛蟲。但因為能力實在有限,無法將所有毛毛蟲一一安置,最終,他只好繞道而行。

當這猶如寓言故事般的親身經歷與冰冷的統計數字相互對比,它給了我們更為震撼的啟示──除了網路媒體讓我們看到的景象外,還有更多我們看不見的地方,甚至是連攝影記者都難以進入的角落,裡頭還有更多的生命也如同烏克蘭的難民一樣急需救援,而僅靠我們一己之力能做的卻非常有限。面對遙遠且數量龐大的求助者,事實上是需要如同世界展望會這般更大、更有組織的團體,才能凝聚足夠的力量,給予急需救援的人們實質幫助。

例如今年的烏克蘭難民救援行動,除了協助安置順利出逃、在歐洲國家顛沛流離的難民以外,第一時間世界展望會也進入烏克蘭,給予前線無法逃出的人們最緊急的「物資救援」,包含水、糧食、燃料等;幾經輾轉後,部分烏克蘭人也在三月陸續回到故土,此時首當其衝的就是飲用水的處置,接著便是家園重建的漫漫長路。於是世界展望會也於同一時間向當地註冊進駐、開展地方資源網絡,協助難民重建家園,從最基礎的庇護所開始向外擴充,包括生活生計、孩童教育、婦女保護、家庭與心理治療等。

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Photo Credit:TNL Brand Studio
難民遷徙的過程中,需要面對茫然未來的巨大壓力,造成心理甚至生理上的問題,因此世界展望會於烏克蘭救援過程成立兒童關懷中心,從遊戲中抒發內心擔憂。
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救援施行:世界展望會人道救援的執行策略

人道救援行動涵蓋甚廣,下至民生物資援助、上至個體關懷照護及社會系統建置,面對如此緊急又錯綜複雜的需求,世界展望會也嚴肅謹慎的對待,從前期評估到後期規劃都有完備的流程,系統性的把關所有環節,並於地方上累積更豐沛的區域網絡及行動量能,張開更多防護網,最後運用專業落實每份跨海祝福,建立關懷世界與孩子的正向循環。

一、漸進式評估與規劃
  首先審視對象於生理、安全、社會等各方面需求的急迫性,擬定不同階段的救援行動。優先項目為「挽救生命」,例如供給糧食飲水補給、遞送生活物資等,滿足難民生理上的基礎需求;接下來則以「陪伴、關懷」為進階項目,例如提供基礎的庇護所收容,或是成立婦女兒童專責關懷中心、教育機構,旨在建置完整的安全及社會生態,給予難民最大的協助。

二、服務團隊在地化
  世界展望會在工作執行時,總是會盡量組織在地的團隊,或與當地且具信譽的非政府組織共同完成,避免因各地不同的語言、文化、風俗民情而產生隔閡,也讓地方上資源及訊息網絡,能以最有效率的方式展開,如此一來才能使資源被誠信且有效的利用。

三、專業規劃與救援
  世界展望會於任何行動前,都會制定明確清楚的工作方向,包含救援目標、執行策略、救援對象數量規模、工作細目等,且前往前線的事工們都必須經過特殊的訓練,學習判別危險及緊急因應措施,如此一來提供當地適切妥當的協助。

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Photo Credit:TNL Brand Studio

重新牽起聯繫:Kindness is a universal language.

除了世界展望會,世上仍有許多人以自身力量,志願投入人道救援的服務。就像來賓張雍在羅馬尼亞邊境認識的當地志工,他們在邊境發放三明治、飲水等物資給滿載烏克蘭難民的遊覽車,但因為羅馬尼亞與烏克蘭的語言並不相通,這讓張雍感到十分好奇:「在援助的過程中不會碰上溝通障礙嗎?」男子搖了搖頭,笑著回答道:「Kindness is a universal language.」。

雖然剛開始並不完全瞭解這句話背後的意義,但經過接著的幾次物資發放,張雍目睹了好幾次相同的畫面──當志工將三明治交到人們手上時,人們的淚水就從眼眶裡泛出。於是我們都懂了,那是某種難以言說的、人與人之間珍貴而無可取代的聯繫。

一起幫助孩子結束旅程,重返家園!飢餓三十救援專線:(02)8195-3005 即刻救援動起來



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關於《國際大風吹|行動講堂》

由《國際大風吹》李漢威、金鐘主持人蔡尚樺聯手主持,每集《國際大風吹|行動講堂》直播節目將邀請重磅來賓,帶大家深入淺出、探討急需人們重視的國際議題,並呼籲各界付出實際行動,向需要幫助的人伸出援手,展開即刻救援。


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