為甚麼「1+2+3+4+...」的答案,會是-1/12?

為甚麼「1+2+3+4+...」的答案,會是-1/12?

我們想讓你知道的是

把所有正整數加起來,居然會是一個負數,還要是分數?這並非因為數學家亂來。

至於怎樣定義才算正確,其實沒有標準答案——因為定義本身可以非常任意。要是你喜歡的話,把所有發散級數的值定義為42亦無不可,只是這個定義看來沒有太大用處。

數學家選擇新定義時,除了不能自相矛盾的基本要求外,還有一些參考標準,例如應用層面、簡潔程度、能否盡量保留原本定義的特性等,但當這些標準有衝突時,則取決於相關領域的數學家認為甚麼重要。有時候創造新定義是為了解決問題,而只要解決得到有關問題並形成共識,數學家就會接受新定義。

1+2+3+4+... = -1/12,很奇怪嗎?是的,但這其實是一項專門的數學結果,只是用上我們較為熟悉的符號,才會令人以過往學到的數學知識及直覺去嘗試理解,並發覺難以明白。不理解絕無問題,只是我們必須記住,要先花時間去學習相關研究,知道要處理的是甚麼問題,方可明白這條公式的意思。

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參考資料︰

《Numberphile》團隊的另一段影片︰

核稿編輯:歐嘉俊


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Photo Credit:TNL Brand Studio

我們想讓你知道的是

這篇文章將帶來5個超實用的Photoshop教學,不論你是攝影、插畫或設計相關的創意工作者,這些技巧都能讓你的工作事半功倍!

Photoshop大家都認識,P圖更是成為我們日常用語,但你可能不知道除了P圖外,Photoshop還能做很多事。從照片編輯、插畫到海報設計,就讓我們帶你來看看Photoshop最新的超實用功能吧!
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技巧一:讓AI幫你快速模擬妝容效果

01_完稿
Photo Credit:TNL Brand Studio

Neural Filters是Photoshop新推出的功能,藉由Adobe Sensei驅動的機器學習讓圖像編修流程大幅加速。例如其中的「化妝轉移」濾鏡,可以讓攝影師不論在前期與造型師、創意團隊溝通,或者後期修圖過程中,都能更具體地模擬出妝容在模特兒臉部的樣子,尤其眼妝與唇妝的效果最為顯著。

首次使用Neural Filters時需要先在軟體中下載濾鏡,濾鏡套用後可以即時切換Before/After預視效果。在輸出選項方面,可以依照需求選擇建立新圖層、智慧型圖層、遮色片或新檔案的方式,對使用者來說非常方便。

功能按鍵位置:濾鏡 > Neural Filters > 化妝轉移

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技巧二:臉部表情控制救星 一鍵生成完美笑容

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Photo Credit:TNL Brand Studio

拍照時難免忘記要露齒笑,或是在快門按下的瞬間眼神不小心飄走,檢查檔案時才發現這些小凸槌,現在再也不用擔心,只要在Photoshop輕鬆點擊一下就通通搞定。同樣是Nerual Filters中的功能,智慧型肖像可以在幾秒鐘內,利用PS液化方式替肖像照的人物修出笑容,調整眼睛的視線方向,甚至透過調整膚況與髮量改變人物的視覺年齡。

Neural Filters在macOS 10.15之後的版本、Windows 10及更新版本的作業系統上都能使用,記得更新你的Adobe Photoshop,趕快一起來試試看這些神奇的新功能吧!

功能按鍵位置:濾鏡 > Neural Filters > 智慧型肖像

☞ 馬上透過Photoshop調整表情

技巧三:畫出人物臉部陰影與反光的聰明方法

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Photo Credit:TNL Brand Studio

嘿!你還在慢慢切換顏色來畫角色臉上的陰影與反光嗎?使用PS筆刷工具與調整「圖層混合模式」,讓插畫工作流程更直覺。首先新增一個透明圖層,以低透明度的灰色畫出陰影分佈位置,然後調整「圖層混合模式」選擇「色彩增值」,就能快速做出陰影的效果。

反光部分則使用高明度的淺黃色或者白色,在新增的透明圖層上畫好分布位置,像是鼻樑、額頭和下巴等,最後在「圖層混合模式」選擇「覆蓋」,完美的反光就完成了。調整完圖層混合模式後,還可以用色彩平衡調整陰影與反光的顏色,更符合圖片整體的色調。

PS快捷鍵:B筆刷工具

☞ 打開Photoshop讓你的人物更生動

技巧四:Illustrator向量圖檔直接貼上超easy

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Photo Credit:TNL Brand Studio

Photoshop與Illustrator幾乎是每位設計師電腦裡的必備軟體,2022年新版Photoshop的更新功能讓兩者之間的相互整合更加流暢。在Illustrator中繪製完成的向量物件,可以直接複製貼上到Photoshop,而且現在更多了一個貼上為「圖層」的選項,讓使用者更方便接著用強大的PS筆刷與濾鏡製作質感效果,這個功能不論在海報設計還是banner設計上都非常實用。同樣地,在Illustrator建立的文字也可以直接在Photoshop中貼上繼續編輯,讓你的創意心流不間斷。

PS快捷鍵:control/cmd + V貼上

☞ 太神啦!快速更新Photoshop馬上就來貼

技巧五:使用物件選取工具圖中元素秒擷取

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Photo Credit:TNL Brand Studio

平面設計師經常需要從圖像中,擷取部分的元素當作設計素材。魔術棒或者磁性套索都是大家常用的功能,不過這次要介紹的是比上述工具都更迅速的「物件選取」,這也是Adobe近期應用機器學習開發的功能之一。

只要點擊選取工具中的「物件選取」,Photoshop就會在幾秒中內判斷圖片中的物件,接著勾選「物件尋找工具」,只要將滑鼠移到畫面中,反白區域就是偵測到物件。這個功能也很適合用來去背,當物件偵測完成後,右鍵點擊「反向選取」就能選到背景,接著就能刪除或者更換你所需要的背景色。

「物件選取」與「選取主體」這兩個功能的不同之處,在於前者可以更快速地協助我們選取畫面中的多個元素,後者著重在辦別單一的主要元素。此外,這些新的選取工具最適合應用在圖中元素邊界很明確,或者背景與主體對比強烈的圖片呦!

PS快捷鍵:W選取工具

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創意工作沒有標準答案,專業工具的使用方式也可以很多元。Adobe不斷強化既有工具、推出新功能,是創意工作者實踐靈感的最佳夥伴,現在就上官網探索更多Photoshop功能吧!

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