連鎖悖論︰再多的沙都無法形成沙堆?

連鎖悖論︰再多的沙都無法形成沙堆?
Photo Credit: Depositphotos

我們想讓你知道的是

沒有明確界線的含混形容詞,可以引起「連鎖悖論」。

2015年,港媒報導香港政府的四大基建超支逾900億,社會譁然,因為超支數目實在龐大。不難想像,若只超支1、2元,大眾的反應定然有別。有趣的是,我們其實可組織一個連鎖論證,證明900億超支不多。這組論證的第一步很簡單︰

超支1元只超支很少
如果超支1元只超支很少,超支2元也只超支很少
是故,超支2元只超支很少

首先,我們應該都同意超支1元只是小超支。再者,如果1元是小超支,沒有理由2元會忽然變成不小的超支,所以,如果1元是小超支,2元也是小超支。由此可見,超支2元是小超支。然而,依同樣思路推論下去,連900億超支也是小超支︰

是故,超支2元只超支很少
如果超支2元只超支很少,超支3元也只超支很少
是故,超支3元只超支很少
如果超支3元只超支很少,超支4元也只超支很少
是故,超支4元只超支很少
如果超支4元只超支很少,超支5元也只超支很少
是故,超支5元只超支很少
 ⋮
如果超支99元只超支很少,超支100元也只超支很少
是故,超支100元只超支很少
 ⋮
如果超支89,999元只超支很少,超支90,000元也只超支很少
是故,超支90,000元只超支很少
 ⋮
是故,超支9,000,000元只超支很少
 ⋮
是故,超支90,000,000,000元只超支很少

900億超支顯然並非小超支。退一步來說,即使接受900億超支是小超支,我們也不應該接受這組論證,因為這組論證可再延續,隨之連9兆、9京都是小超支。事實上,這組論證可濃縮成三個句子︰

(一)
超支1元只超支很少
對於任何數目n,如果超支n元只超支很少,超支n+1元也只超支很少
是故,超支多少錢都只超支很少

第一個前提難以反對。要反對第二個前提也不容易,因為反對第二個前提就等於主張︰

至少有個數字n,超支n元只超支很少,但超支n+1元實非只超支很少

換言之,反對第二個前提等於主張有一條明確界線可以劃分「小超支」和「不是小超支」,但這樣的界線實在難以想像。這兩個前提推導出的結論相當荒謬,因為有些超支的金額顯然不可稱為「只超支很少」。這其實是連鎖悖論(sorites paradox)的例子,傳統的沙堆悖論是另一個例子︰

(二)
1粒沙無法形成沙堆
對於任何數目n,如果n粒沙無法形成沙堆,則n+1粒也無法形成沙堆
因此,再多的沙都無法形成沙堆

著名的Wang’s paradox ,同樣是連鎖悖論的個例︰

(三)
1是小數字
對任何數字n,如果n是小數字,則n+1也是小數字
因此,所有數字都是小數字

值得一提的是,Wang’s paradox來自著名的邏輯學家王浩(Wang Hao)。王浩本來只是用這個例子示範連鎖悖論,但由於圈內不少人都接著用「Wang’s paradox」來稱呼這個例子,加上著名哲學家Michael Dummett以此為題寫了一篇文章探討數學哲學,所以不少人討論這個例子喜用「Wang’s paradox」,而不是「sorites paradox」。 這幾個連鎖悖論同樣用了含混詞(vague term)。甚麼是含混詞?「高」、「矮」、「肥」、「瘦」、「冷」、「熱」、「老」、「幼」是標準的含混詞,全都可以用來製造連鎖悖論,譬如︰

(四)
身高2米是長得高
對任何身高n,如果身高n毫米是高,則身高n-1毫米也是高
是故,身高1毫米也是長得高

令「X」為某含混詞。一般而言,「X」具有三個特徵︰一,有些例子明顯是X;二,有些例子明顯不是X;三,有些例子不清楚是否X。比如「高」便符合這三個特徵︰有些人明顯是高的,有些人明顯不是高的,也有些人不清楚算不算高。「超支很小」、「可形成沙堆」、「小數字」都有這三個特徵。 含混詞的第三個特徵令「明顯是X」和「明顯不是X」之間難以劃出一條明確界線,繼而使連鎖悖論的第二個前提難以推翻。要看出這點,大可用「富翁」和「百萬富翁」做個比較。首先,我們可用「富翁」這個詞來組織一個連鎖悖論︰

(五)
有900萬的人是富翁
對於任何數目n,如果有n元的人是富翁,則有n-1元的人也是富翁
是故,有1元的人是富翁

我們難以在「富翁」和「不是富翁」之間找出明確界線,繼而難以推翻第二個前提。可是,若是將「富翁」改成「百萬富翁」,這論證便有明顯的瑕疵。

(六)
有900萬的人是百萬富翁
對於任何數目n,如果有n元的人是百萬富翁,則有n-1元的人也是百萬富翁
是故,有1元的人是百萬富翁

有1,000,000元是百萬富翁,但有999,999元不是百萬富翁;第二個前提明顯錯了。因為「百萬富翁」有明確界線(即,100萬),不符合含混詞的第三個特徵,令論證(六)的第二個前提出問題。相反,「富翁」符合含混詞的三個特徵,因此我們難以說論證(五)的第二個前提為假。

本文獲授權轉載,原文見紫煙亭

相關文章︰

責任編輯:tnlhk
核稿編輯︰王陽翎


猜你喜歡


AWS台灣雲端高峰會8月10日登場:實體活動盛大回歸,技術開發到產業趨勢兩日全掌握

AWS台灣雲端高峰會8月10日登場:實體活動盛大回歸,技術開發到產業趨勢兩日全掌握
photo credit:AWS

我們想讓你知道的是

2022AWS台灣雲端高峰會將於8月10日在台北南港展覽二館盛大登場,聚焦雲端9大主題、超過45場產業與技術專題演講,為開發者與經理人提供深度交流機會,任何與雲端有所接觸的工作者都不容錯過。

AWS公開年度雲端技術盛會──2022 AWS台灣雲端高峰會(AWS Summit Taiwan)即將在8月10日至8月11日於台北南港展覽館二館舉行!歷經新冠疫情紛擾,睽違兩年AWS台灣雲端高峰會即將重回實體舉行,讓每位參與者走入規劃豐富的實體專區與各路開發者深度共學。立即報名點此

今年主題「佈雲今日 ‧ 決勝未來」明顯表達數位轉型已是現在進行式。隨著新冠疫情及國際局勢改變的雙重影響,全球迎來的新常態經濟模式使雲端技術不再只是企業應變關鍵,更是走向安全、永續,以及鏈結未來的必經之途。因此,2022AWS台灣雲端高峰會中將展示當代最前瞻的雲端趨勢,帶領參與者運用現代化雲端洞悉市場數據,探索商業與技術的無限可能。

聚焦九大雲端主題:基礎設施、技術開發、數位轉型到產業實務面面俱到

9大雲端主題02
photo credit:AWS

今年AWS台灣雲端高峰會不只集結領域中傑出的AWS技術專家、產業代表以及社群領袖,舉辦超過45場的產業及技術專題演講,分享最佳實踐案例、Demo 實機展演和客戶案例分析,還規劃包含證照認證、實作演練、CISO實戰工作坊等與AWS相關課程及工作坊。除此之外,會場也設置「AWS Game day & Developer Lounge」與「新創焦點」兩大專區,讓會眾能在精心規劃的空間內與其他開發者、新創公司透過高度互動的競賽與短講,深度交流彼此技術與經驗。

立即報名:2022 AWS台灣雲端高峰會

2022年,AWS台灣雲端高峰會致力打造深度交流的產業平台,聚焦雲端技術的九大面向,搭配各具特色的活動設計,從基礎設施、技術開發、數位轉型到產業實務面面俱到。不僅為 C-level 與資深技術人員、企業經營與 IT 決策與管理者精心規劃議題內容,也在特別企劃內容中,為 IT Pro、解決方案架構師、開發人員、工程師與維運管理人員提供最佳實務經驗,讓無論AWS初學使用者還是資深產業經理人,都能在高峰會中吸收新知、了解趨勢,提升自我能力與視野。

無分初學大師,只要接觸雲端,你就應該參加AWS台灣雲端高峰會

符合以下關鍵字之一,你就應該參與AWS台灣雲端高峰會:

  • 學無止盡-開發者、工程師、架構師
  • 商業創新開發-新創團隊技術團隊成員
  • 最佳化生產力- IT專業人員、技術支援經理
  • 掌握趨勢-創辦人、經營決策者
  • 自我精進-學生、教職員、研究員
  • 洞見趨勢-任何關注雲端趨勢者

AWS台灣雲端高峰會首日聚焦雲端服務、開發技術及新創,以技術相關內容為主,較適合具備初級主題知識之開發人員、工程師與 IT 專業人員;次日則圍繞產業解決方案提供、數位轉型等,以應用相關內容為主,較適合欲了解雲端技術如何為企業經營加分之經營決策者、解決方案架構師以及系統管理員。

立即報名:2022 AWS台灣雲端高峰會

如此縝密的規劃,無論是初上雲端的新手,還是乘雲縱橫產業多年的技術大師,甚至是非技術相關人士,都能在高峰會中依照自身工作職掌和興趣,安排個人化的專屬議程,從不同主題和技術能力演講中,滿足個人技術或視野的成長。

最重要的是,2022AWS雲端高峰會為免費參加,絕對是任何需要開拓雲端新經濟、自我加值的工作者不可錯過的年度盛會。

玩轉雲端核心技術!AWS DeepRacer人工智慧賽車同步登場

AWSDR
photo credit:AWS

每年與台灣雲端高峰會共同舉行的「AWS DeepRacer智慧自駕車競賽」當然也不會缺席。AWS DeepRacer是 Amazon 產品背後所運用之人工智慧和機器學習等核心技術的具體化身,不僅是全球首個以自駕車競賽為主題賽車聯盟,也是機器學習(ML)與強化學習(RL)最友善、有趣、刺激的學習課程。

競賽設計不只替雲端技術增添不少趣味,激起各方開發者爭奪獎品、獲取冠軍榮耀的鬥志,搭配AWS所提供的免費入門課程及學習資源,更創造出技術學習與推廣的友善環境,也是AWS送給所有工程師最棒的寓教於樂場域。

精彩豐富的專題講座與寓教於樂的刺激競賽還不夠嗎?活動現場還有抽獎活動、深度參會集點以及問卷好禮,提早報到者再加碼早鳥禮!

立即報名豐富有趣的 2022 AWS 台灣雲端高峰會!


猜你喜歡