再發現已知最大質數——為何仍要繼續尋找?

再發現已知最大質數——為何仍要繼續尋找?
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我們想讓你知道的是

專門搜尋巨大質數的GIMPS計劃再發現長達千萬個位的質數,為甚麼會有些人對尋找大質數如此有興趣?

「網際網路梅森質數大搜索」(GIMPS)宣布,住在美國田納西州、51歲的電子工程師比斯(Jonathan Pace)在去年12月26日發現了已知的最大質數,整個數字寫出來有接近2325萬個位。

嚴格來說,新發現屬於比斯那部用上英特爾i5-6600處理器的電腦,他的電腦運行了足足6日才證明這個數字是質數。當比斯的電腦完成運算後,四組使用不同硬件、程式的系統各自驗證,確認這項新發現沒有錯誤。

搜尋巨大質數

GIMPS這項專門搜尋巨大質數的計劃在1996年1月開始,由願意貢獻電腦運算能力的參加者透過網絡協作,以判斷一類特別的數字——稱為梅森數(Mersenne number)——是否質數。梅森數是可以寫成2n-1的數字,記為Mn,以17世紀天主教修士梅森(Marin Mersenne)命名。

如果一個梅森數是質數就稱為梅森質數(Mersenne prime),以下是最小的幾個梅森質數︰

  1. M2 = 22-1 = 3
  2. M3 = 23-1 = 7
  3. M5 = 25 -1 = 31
  4. M7 = 27 -1 =127

數學家知道如果Mp是個梅森質數,p必須是質數。那麼能否反過來說,每個質數p都對應一個梅森質數Mp呢?卻又不能,第一個反例就是11︰

  • M11 = 211 - 1 = 2047 = 23 × 89

比斯新發現的梅森質數是M77232917,比起約兩年前GIMPS計劃發現的M74207281還要多出91萬個位,是人類已知的第50個梅森質數——由於尚未完成搜索,暫時未能確定有沒有更小而未被發現的梅森質數。

GIMPS計劃開始至今,已經發現了16個梅森質數。不過,數學家早就知道質數有無限多個,換言之絕不可能找到「最大質數」,那還計算這大型質數豈不是毫無意義?也不盡然。

到底有多少個梅森質數?

梅森曾經猜想只有11個梅森質數,最大一個是M257,不過由於部分數字太大,他那個時候尚未能驗證。現在我們知道梅森猜想不成立︰他列出的11個梅森數中,有兩個不是質數(包括M257)、中間漏掉三個梅森質數、而且發現了38個更大的梅森質數。

數學界目前還不知道的是,梅森質數到底是像質數一樣否無窮無盡。當然,單靠電腦運算、檢驗更大的梅森數,無法解答這個問題,不過可以提供一些輔助證據,協助數學家建立猜想。

例如目前只發現5個費馬質數(Fermat prime)——可以寫成22ⁿ+1的質數,如3、5、17、257、65537——運算結果就指向「只有5個費馬質數」的猜想。萬一未來某天有人發現更大的費馬質數,便會是推翻上述猜想的有趣發現。又例如,假若未來一段長時間都沒有人發現新的梅森質數,這個結果亦可以給有興趣的數學家參考,提出猜想來設定研究方向。

此外,梅森質數跟完全數(perfect number)——除自身外,所有因數加起來等如自身的數字(例如6 = 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14)——有關,偶完全數跟梅森質數一一對應,因此數學家同樣不知道完全數是否有無限多個。目前數學家還未發現到奇完全數,也不確定它是否存在。

參與GIMPS

有興趣的讀者,可以到GIMPS的網站下載軟件,參與搜索梅森質數。假如使用GIMPS的軟件,現時每發現一個新的梅森質數就可獲得3000美元。

另外,電子前線基金會(EFF)設立了「合作運算獎」,會頒發獎金給予第一個發現最少100萬位、1000萬位、1億位、10億位質數的人,獎金分別為5萬、10萬、15萬及25萬美元。首兩筆獎金已經在2000年及2009年頒發。

GIMPS的網頁表明他們正努力嘗試贏取15萬美元獎金,若得到的話將會把獎金分成三等份,一份歸發現者、一份捐給跟數學有關的慈善團體、另一份用作應付GIMPS開支及獎金支出。

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