只要將地球半徑壓縮到小於「史瓦西半徑」,黑洞就形成了

只要將地球半徑壓縮到小於「史瓦西半徑」,黑洞就形成了
大麥哲倫雲面前的黑洞(中心)的模擬視圖|Photo Credit: Alain r@Wikimedia Commons CC BY-SA 2.5

我們想讓你知道的是

我們稱它為「黑洞」,是因為沒有光可以從它裡面跑出來。這一塊質量將會繼續塌縮到更小,而重力會讓它更緊實的聚在一起,使脫離速度變得更大。

文:戈特(J. Richard Gott)

本章要探討的是宇宙中最神祕的物體:黑洞。愛因斯坦的廣義相對論方程式最早得到的精確解當中,有一個解就對應到黑洞。

愛因斯坦方程式的精確解其實是一個時空,而這個時空的幾何必須使它每一點的曲率都能局部符合愛因斯坦方程式。有一個特別值得注意的解,是一顆質點外圍空曠空間的幾何。這個解稱為真空場方程式的解,因為它適用於空無一物的空間。愛因斯坦計算水星軌道及計算光線經過太陽周遭空曠空間所發生的偏折時,就是在嘗試解這個方程式。但是這種解很難找,因為對於它的幾何會是什麼樣子,我們一點概念也沒有。於是愛因斯坦退而求其次,想找出一個近似解。

在愛因斯坦的近似解中,時空近乎平坦,就和狹義相對論一樣,但是有一些微擾(略微不平坦)。這些微擾的方程式比較容易解,因為我們知道一開始可以先假設一個平坦的幾何,以這個假設為起點後,那些小修正項的方程式就比較容易解。因為和光速比較起來,繞太陽旋轉的物體的速度並不快,所以太陽周圍的幾何只會稍微扭曲。因此愛因斯坦的近似解非常準確,他算出的水星軌道以及光行經太陽附近所發生的偏折也非常準確。或許愛因斯坦認為精確解出這個方程式的工作太難了。不論如何,能暫時得到一個近似解,他已經很滿意了。

漫步在愛因斯坦思想的花園中

最早為質點周圍空曠空間的愛因斯坦場方程式找到精確解的人,是德國天文學家卡爾.史瓦西(Karl Schwarzschild)。他所找到的其實就是一個黑洞的解,也就是一個質點位在除它以外全然空曠的空間中的情況。愛因斯坦發表廣義相對論時,他估計全世界只有12個人可以理解,史瓦西就是其中之一。

早在1900年,史瓦西就已經寫過一篇論文,探討空間的可能曲率。這篇論文甚至比狹義相對論還早問世。史瓦西當時的想法是,空間有可能是彎曲的,就像球面一樣,甚至它的曲率也可能是負的,就像馬鞍的表面一樣。他想要根據當時的天文觀測數據,來算出空間的曲率半徑該有多大。

史瓦西已經是願意去思考空間曲率的人了,所以當愛因斯坦的論文出版時,史瓦西非常能接受這種做法,他看得懂,同樣重要的是,他有能力去處理那些牽涉到黎曼曲率張量的艱澀數學。他已經擁有他所需要的一切工具,去做一件原創的新奇事情。史瓦西能夠解出前面提到的那個問題,是因為他設計出一個巧妙的座標系統,用來解那些複雜的方程式,他的做法利用下面這個事實:這個問題有球對稱,而且不會隨著時間而改變。愛因斯坦真空方程式在質點周圍空曠空間的精確解,所刻畫的正是黑洞外圍。

史瓦西在第一次世界大戰中服役時,感染了一種罕見的皮膚病,最終奪走了他的命。他在1916年因病後送回家,那時他得知愛因斯坦的論文,並且找到自己的解。他把那個解寄給愛因斯坦,說他很高興能夠在戰爭當中「花一點時間,在您思想的花園中漫步」。幾個月後,史瓦西就過世了。

Schwarzschild
Public Domain
史瓦西

發現真空場方程式的這個精確全域解,過程非常類似於製作一件拼布外套。在時空的每一點,你將幾小塊布縫起來,使得局部中不同曲率的項次加總起來成為零。場方程式會告訴你一些將這些布塊縫在一起時所要遵循的法則。你只要持續縫合,不斷加上一片片的小布塊。最終,你還是必須得到一個全域解,也就是一件拼布外套,它在每一點上都滿足那些法則。這是非常困難的工作。卡爾.史瓦西是第一個為質點周遭彎曲空間求出精確解的人。

卡爾.史瓦西的兒子馬丁.史瓦西(Martin Schwarzschild)是我們在普林斯頓大學多年的同事。馬丁也是一位貢獻卓著的天文學家,特別是發現像太陽這樣的恆星最終將成為紅巨星。毫無疑問,他跟隨了父親的腳步。馬丁從來沒有機會真正認識他的父親,馬丁才4歲大時父親就過世了。有意思的是,卡爾在第一次世界大戰時隸屬德軍,而他兒子馬丁卻在希特勒當權後逃離德國,第二次世界大戰時幫助美軍對抗德軍。

連光也跑不出來

要了解黑洞,且讓我們先回顧一下牛頓的重力論。如果我拿著一顆球,將它拋向空中,會發生什麼事?球會先上升,然後又往下掉。我們甚至有一句關於這種現象的諺語:「凡上升的,必定會落下。」這諺語唯一的麻煩是,它是錯的。不考慮空氣阻力的話,如果你用夠快的速度把一顆球往空中擲,讓速度超過地球的脫離速度(每小時40,270公里),那麼它將逃脫地球的重力場,永遠不會再回來。阿波羅號的太空人必須以將近這樣的速度行進,才能脫離地球的控制,飛往月球。

牛頓理論有一條脫離速度公式:v脫離2 = 2GM/r,其中G是牛頓的重力常數,M是地球質量,而r是地球半徑。現在假設我有一部超大的垃圾壓縮機,用來把地球壓扁,把地球像紙球一樣揉成一團,使它的半徑縮小。這會對脫離速度產生什麼影響?地球的質量不變,但是半徑變小,使得從它表面脫離的速度要變大。最後,如果我把地球壓縮得夠小,那麼脫離速度將會達到光速c。這需要把地球壓縮到多小呢?我只要設v脫離2 = c2 = 2GM/r,然後解出r即可。

我會得到r = 2GM/c2。我們稱這個半徑為史瓦西半徑,以紀念卡爾.史瓦西的貢獻。