面對同時同地發生的事件,你相信一切隨機還是命運使然?

面對同時同地發生的事件,你相信一切隨機還是命運使然?
Photo Credit: Reuters/達志影像
我們想讓你知道的是

大略猜想一下,在你讀這個句子的同時,全世界一共掃描了多少次條碼。我猜你一定大大地低估了這個數量。全世界每天掃描條碼的次數超過五十億次。也就是說,在你閱讀這個句子之際,便出現了十萬次購買行為,而線上購物還不包含在內。

唸給你聽
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文:約瑟夫.馬祖爾

我們都知道世界很大,但卻難以想像它真正的浩瀚程度。我的女兒凱瑟琳還只有八歲時,我時不時會在遊戲之中灌輸她對於地球廣闊程度的印象,以及對於數量規模的概念。有一次,她打了一個噴嚏,我順勢要她猜,世界上有多少人碰巧也剛打完一個噴嚏。她猜的數字是兩百,雖然低了些,但是就一個八歲孩子而言,還不算猜得太差。我的猜測是數萬人,這令她很驚訝,但考量到世界人口總數已經七十多億了,或許這還比實際數字少上好幾位數。

今天,我們要問一個關於讀條碼──那些你在超市結帳時會不斷聽到的逼逼聲──的問題,這困難得多。大略猜想一下,在你讀這個句子的同時,全世界一共掃描了多少次條碼。我猜你一定大大地低估了這個數量。全世界每天掃描條碼的次數超過五十億次。也就是說,在你閱讀這個句子之際,便出現了十萬次購買行為,而線上購物還不包含在內。現在,對於世界的規模,我們應該更能掌握個大概了。儘管每秒條碼掃描次數的數量還算是很小的,還有更微觀的層級可以與之相較。

在這個原子與分子的真實世界裡,沒有什麼是百分之百絕對的。因此,我們必須找出判斷的準則,與其說是找出篤定無誤的事實,倒不如說是找出很可能為真的事實。想當然耳,我們會毫無疑問地接受地球轉動及太陽明天會升起的觀念,但是我們之所以接受世界上大多預期會發生的現象,都是來自人類集體的經驗談。理論數學中的一對理想骰子,可以用來預測真實的人擲真實骰子的行為。骰子是不完美的白色圓邊立方體,其各個面上內凹的黑點無疑地並不妨礙它的旋轉對稱。製造商必須考量到,挖掉六個內凹黑點的材料,可能導致這個立方體向一點的那面傾斜。賭場用的骰子做工精細,誤差範圍極低,遠比桌遊用的一般骰子的期望平均值更接近3.5。

大數法則令人印象深刻之處在於它將數學理論與物理現象相結合。我們奇妙宇宙中的許多驚奇,以及大自然以熵的方式把物質與能量的無序帶往不活動的均勻態,都與之相關。這法則甚至說明了,宇宙中許多的浩繁成果,都僅僅由極大量的丟骰子或拋硬幣一類的事件而來。

比起相信事件在同樣的時間地點發生只是隨機的機會使然,人們更容易相信這是某種命運的安排。是這樣的嗎?以墨水在水中擴散的狀況為例。一滴墨水滴進一瓶水中,會均勻地改變整瓶水的顏色。墨水注定要均勻地化解到水瓶裡的每一處嗎?或者顏色均勻地改變只不過是機運之故?讓我們假設墨水的顏色是藍色的?一開始,你會看見一滴藍色墨水從滴管中落下,如果這滴墨水與水接觸時沒有濺起,你會看見一個下墜的藍色球體巧妙地變換著形狀,然後變成一個環體(torus)。這個環體會延伸成為一個矩形環體,每個角皆為球體。這個球體會裂解成四個環體,重複這個裂解過程形成十六個環體。型態的變化與裂解會一直持續到撞到水瓶內壁或是瓶底破裂為止。

這曼妙的物理預測,是從考量所有作用在球體及環體上的力而來。所以,染色墨水的命運已註定,由形態中的物理(例如:染色部分的表面張力、兩種介質之間的壓力/浮力關係、向上推的浮力向量以及分子的移動速度)及數學所決定、安排。然而,當這些形狀撞擊到壁面時,就進到新的局面了。表面張力瓦解、分子鍵受到震盪、對稱性遭受破壞,還有隨機的元素加入。在那一刻,兩種液體間的亂流創造出新的形態,回到任何一種對稱狀態的可能性都極其微小的形態。分子的擴散使液體的鍵結往看似隨機的方向延伸。

如果墨水微微濺起的話,會怎麼樣?在這情況下,你會看到一個球體緩緩降落,散開成壯麗的形狀,像是微風吹過的卷雲般。幾分鐘內,快慢取決於深度,水會變成均勻的藍色,擴散的墨水不再保有任何形狀。雖然它有極小的機率可能回復成原本形狀,但它微小到我們實際上可以忽略這個可能性的存在。從來沒有人聲稱曾經目睹過這狀況的發生。這極為難得巧合事件的發生機率,會是一個小到小數點後的零的個數比地球上的沙粒更多的小數字。但這並不代表它不可能發生。就模型上而言,這現象區分出時間前進的方向,水滴是過去,均勻的藍色墨水是現在。

水瓶裡的水從透明變成藍色的過程中,到底發生了什麼事?如果我們從分子層級來看這個問題,就會發現每個藍色墨水分子並不只是漫無目的地在水分子間漫步。分子之間存在使它們相繫的鍵結,但無論分子往什麼方向移動,它們都是以某種偽裝成隨機的有序運動方式移動。

如果分子之間的鍵結強度減弱,會發生什麼事呢?為回答這個問題,我們把實驗略作修改。我們採用研磨得非常細緻的咖啡粉來取代墨水。把研磨得非常細緻的咖啡粉倒進盛裝冷水的方形盤中的左邊。圖9·1是幾乎要用顯微鏡才能看到的尺度示意圖。上面的點表示咖啡粉末的濃度由左至右遞減。等候幾秒鐘,看看會發生什麼事情:密度會由左至右逐漸改變,濃度由高至低,直到均勻地分布在整個盤子裡。

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Photo Credit:臉譜出版

你也許會認為,有某股力量驅動著,讓微小粒子從較擁擠處往較不擁擠處移動。這種力量並不存在。微粒對於該往哪個方向去沒有偏好。這個系統中的每一顆微粒都是獨立運作的,每一顆微粒在與水分子碰撞後會因重擊而往全然無法預測的方向去。任何顆粒的路徑都是隨機決定的,或起碼如真實生活中任何事物所能展現的那般隨機。為幫助理解發生了什麼事,我們在水盤中間放一條假想線,區分出高密度與低密度的兩側,問有多大的可能性,假想線上的微粒會移動到右邊。答案是它往右邊移動與往左邊移動的可能性相當。從左邊往右邊移動的微粒比從右邊往左邊移動的微粒數量更多,僅僅是因為假想線左側的微粒比右側的微粒來得多。所以,擴散至均勻狀態單純只是因為分子往任何方向移動的可能性皆相當。這也就是在高爾頓板上所發生的事。

熱力學第二定律告訴我們,同樣的把戲用在氣體也一樣奏效。取兩個容器,一個放進氣體,讓瓶中保有些氣壓,另一個抽真空。把兩個容器用一條管子連接起來,讓氣體能在其中自由移動。氣體會迅速地擴散,直到兩個容器的氣壓都為初始氣壓的一半。壓力的均衡,是粒子會盡可能地散布出去的普遍例子之一。令人驚奇的是:氣體分子會像鍋裡滾水上的泡泡般,隨機地互相碰撞,這樣的狀態維持一陣子,每個分子都會在歷經一段時間之後的某個時點回到容器中其開始活動之處。昂利.龐加萊(Henri Poincarè)在一個關於動力系統的一般定理中,對此做出描述。

試想一下,如果你把大量的跳蚤放到棋盤中間,會發生什麼事?很快地,跳蚤便會跳往四面八方,填滿整個棋盤。像是冷水盤中研磨地相當細緻的咖啡渣,跳蚤只是亂跳,事先並沒有決定好要跳往任何方向。任何一隻跳蚤都不是為了能有更大的空間而跳;就算牠擁有的空間已經很大了,牠還是會再度隨機地跳往新的方向。跳蚤的分布範圍透過隨機亂跳而擴大。如果牠們繼續跳的話,會不會回到最初的位置呢?或許不會;不過,可以參考下列這個想像實驗:想像有兩個容器。一個標示為A,裝入一百顆球,為每個球分別標上號碼1至100。另一個標示為B,不盛裝東西。同時想像一個桶子裡裝了一百張牌片,也分別標上號碼1至100。隨機抽出一張牌片,讀上面的數字,假設為N。從A桶子中拿出編號為N的球,放到B桶子中。再換下一張牌片,重複這個流程。每一次牌片N被抽出後,就把標記為N的球從其所在的桶子放到另外一個桶子裡。你有辦法猜出會發生什麼事嗎?

是的,容器A的球數量會減少,直到兩個容器盛裝的球數量幾乎一樣為止。但隨著容器A中的球數減少,與抽出牌片相同號碼的球在容器A中的可能性也會下降。事實上,下降的幅度與留在容器A中的球數之間為等比例關係。現在,我重複這個問題:你可以猜猜長期而言會發生什麼事嗎?這或許看似違反直覺,甚至令人吃驚,但絕對確定的是,所有的球最終都會回到容器A中,雖然這可能得經歷相當相當長的時間才會發生。龐加萊的一般定理對於動力系統的預測就是如此。這之中的道理,柏拉圖與白努利都曾提過,即apocatastasis,「在無數個世紀開展之後,一切事物都會回到其原初的狀態。」因為對天文學及推廣物理學的貢獻而受封為爵士的已故著名物理學家詹姆士.金斯爵士,便曾以此來嘲諷說,任何現在仍活著的人,都呼吸著凱撒大帝臨終之時呼吸的氣體分子。

這些例子能夠成立,是因為我們就是得與大量的物品為伍。好比墨水滴中的分子,或是遍布在這個浩瀚星球的人口,在數量非常非常龐大之際,我們就有更大的機會能讓隨機元素達到均衡,也有更大的機會能明白個體在群體之中的行為。

非常多複雜的自然現象都可以用諸如重複無數次地擲硬幣或者隨機挑一個數字的簡單例子來解釋。而從這大量的隨機數字中,機運創造了一個會不斷演變的動態世界:有顏色的墨水在水中漫無目的地擴散;氣體遵守氣體動力學,往真空的空間移動以平衡氣壓;跳蚤往任意方向亂跳直到遍布整個棋盤;還有DNA自我複製時出錯,偶然地創造出獨特的物種──人類。

DNA是清白與否的絕對證明?犯罪證據巧合遠比我們以為的更可能發生

書籍介紹

《是湊巧還是機率?:巧合背後的數學與迷思》,臉譜出版
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作者:約瑟夫.馬祖爾
譯者:王秋月

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相信「巧合是罕見的」其實是一種迷思——大數法則、隱藏變數理論都能解釋為什麼巧合發生的頻率遠比預期還要高。馬祖爾研究了個人體驗、小說與鄉野傳奇種種離奇情節,整理出十種經典巧合故事類型,每個故事都可先被拆解成數個簡單的算式,再算出人、事、時、地、物相遇和離別的發生機率。同時他也爬梳了中西方哲學家和詩人對「因果」的討論,以及數學家如何發明數學理論的故事,這些創新而且用途廣泛的機率模型理論也讓我們知道何以世界充滿可能性,什麼事都有可能發生。

臉譜1月_是湊巧還是機率_立體書封(1214)
Photo Credit:臉譜出版

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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