如果π不是3.14159...那可以是多少?

我們想讓你知道的是
如果我們修改「距離」的定義,其實可以改變圓周率的數值,但有甚麼限制?
圓周率π是數學中一個重要常數,其定義為圓周跟直徑的長度比率,數值為 3.14159...——它是個無理數,因此是個無限而不循環的小數。今天是3月14日,不少數學、科學愛好者會因為π的近似值是3.14,把這一天訂為「圓周率日」(Pi Day)。
去年我寫過π的一些特性(連結見文末),今年寫寫另一個問題︰π可以不等於3.14159...嗎?這個問題看來奇怪,既然圓周率是個常數,數值自然不會改變,為何會有其他可能?
在1897年,美國印第安納州議會差點通過的「π法案」(Indiana Pi Bill)。這是由一位業餘數學家提出的法案,內容宣稱能夠「化圓為方」——古希臘幾何學家一直希望能解決的難題︰給定一個圓形,用圓規和無刻度直尺畫出相同面積的正方形。不過早於1882年,數學家林德曼(Ferdinand von Lindemann)已證明這不可能做到,「π法案」內提出的解答自然有錯。
雖然「π法案」其實沒有提及「π」本身,但內文其中一句提到「直徑跟圓周之比為五分之四比四」,即指 π = 4/1.25 = 3.2。幸好「π法案」最終未能通過,政治力量始終無法改變數學事實(當然,就算通過了也無改π的數值)。
不過我想說的其實不是「π法案」這類改變,而是π本身可不可能有其他數值。答案是可以的——如果採用「圓周跟直徑的長度比率」這個定義,我就有方法「改變」π的數值。
首先,怎樣畫出一個圓形?很簡單,在平面上先固定某個點,稱為「圓心」,再畫出其他跟圓心保持相同距離的點,那些點連起來就是一個圓形,這條曲線就是圓周。在圓形上其中一點畫一條直線,穿過圓心抵達圓的另一邊,這條線段就是直徑。

如果用上笛卡爾坐標系,以原點(0,0)為圓心畫出來的圓形,可以用以下方程式表示︰

其中r是半徑長度。例如以原點為圓心、半徑為2的圓形就是這樣︰

為甚麼會是二次方?因為我們一般定義兩點(x1, y1)及(x2, y2)的距離如下︰

這樣定義距離的話,兩點之間最短距離的線會是一條直線,因此這可算是最符合直覺的定義,也是大多數人初學解析幾何時接觸到的定義,這種距離稱為「歐幾里得距離」(Euclidean distance)。
不過數學家總是喜歡把定義推廣,得出不同樣子的「距離」,而「距離」的定義改變後,其空間亦相應改變。其中一種改變方式如下︰

其中p是一個大於1的數字,用兩條直線代替括號,代表那是絕對值,確保不會得出負數。這類距離稱為「p範數距離」(p-norm distance),又稱「閔考斯基距離」(Minkowski distance)。當p=2的時候,這就是歐幾里得距離。
由於「圓形」的定義建基於距離,當我們採用另一種方式定義距離時,所畫出來的圓應也會相應改變,以下是一些例子︰

上圖中藍線上的點跟原點距離相等,但每個坐標中「距離」的定義都不一樣。當p的值改變時,圓周長度亦會相應改變,但直徑長度不變,所以其「圓周率」也會改變,記作πp。
而當p=1所得出的距離比較特別,粗略地說,在這種空間內量度兩點的距離時,我們只能沿坐標的橫線和直線量度,如下圖中的紅、藍及黃色線,就像的士只能跟馬路行走,不能穿過大廈一樣,因此這種距離又稱作「的士距離」。

此外,當p的數值越大時,相應的「圓形」看上去也越來越「胖」,到極限時就會變成以下樣子︰

那麼,圓周率會有甚麼變化呢?數學家C. L. Adler及James Tanton研究過這個問題,並製作以下列表︰

他們更證明了,當p是1或者無限大時,相應的圓周率數值為4,也是最大的數值,而當p=2的時候,πp的數值最小,也是我們平日常見的那個π = 3.14159...。不過這結果只限於p範數距離,如果我們採用其他方式定義距離,仍然可能得出更小的圓周率。
本文內容取材自數學節目《PBS Infinite Series》其中一集︰
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核稿編輯:
10大南投農會伴手禮【下篇】

我們想讓你知道的是
南投縣為台灣觀光首都,好山好水、景色秀麗、文化薈萃、資源豐富,而外出旅遊特色伴手禮必不可少,許多南投地區農會也推出特色伴手禮,以下為大家介紹南投10大農會伴手禮的後5項。
根據「行政院農委會」網站說明,「農會」的功用為推動農民終身學習,培育優質農業人力資源;營造農村健康生活及生產支援體系,活化鄉村社區組織。輔導農漁民團體永續經營,增進服務功能;加強國際農業合作與兩岸農業交流,擴展農業發展空間等。
農會在台灣農業生產和行銷過程中,一直扮演重要的角色。尤其是包裝、行銷地方特產,打出知名度,甚至外銷到全球,農會都是其舉足輕重的推動者。
台灣農會最知名的,就是南投信義鄉農會與其產品《馬拉桑》。《馬拉桑》是臺灣導演魏德聖執導的電影《海角七號》中,所出現的一個小米酒品牌,馬拉桑在阿美族語裡原本的意思是「喝醉了」(阿美語:Malasang)。這項產品由南投縣信義鄉農會所研發、生產,其廣告標語為「千年傳統,全新感受」。是白色甜酒,味頗像市面酵母飲料,喝多易醉。其誕生原因是2006年魏德聖為拍攝《海角七號》劇情的需要,商請南投縣信義鄉農會研發一種「有點俗、有點可愛,且具有在地感」的酒品,於是該單位以一個月的時間進行研發,推出名為「馬拉桑」的小米酒,並於前述電影上映後推出為實體商品,持續販賣至今。靠著該電影的一砲而紅,成為信義鄉著名的南投伴手禮,該項伴手禮也常賣到缺貨。
南投除了信義鄉農會,還有許多農會推出其特色伴手禮,以下為大家介紹南投10大農會伴手禮。
6. 集集鎮農會
推薦人氣伴手禮:香蕉方塊酥
集集是一典型的鄉村小鎮,東鄰水里鄉、西與名間鄉為界,南隔濁水溪與鹿谷鄉、竹山鎮為鄰、北與中寮銜接。面積以山坡地、林班地居多,平地僅佔小部分,南側為濁水溪,三面環山、山嶺重疊,濁水溪自東南西流、清水溪在北側亦東向西流向至林尾里交會濁水溪。農業部分,因集集依山傍水的地理環境,造就了其豐饒多元的農業生態,區內以山蕉、糯米荔枝及火龍果為其大宗,還有柳橙、番石榴、葡萄、山蕨、玫瑰等種植,腹地雖然不大、但因緊鄰清水溪天然無污染的山泉源頭,造就了其質優味美的農產特色。
集集生產出的香蕉香甜又彈牙,為了延續百年香蕉風華,創新並延伸香蕉產品的品項,集集鎮農會與老楊食品有限公司合作,打造出香蕉方塊酥。與方塊酥結合的香蕉粉,需要採用在地尚未成熟且黏性較低的綠香蕉,切片後烘乾研磨成粉,單純觀察或食用粉末時,可感覺其顆粒較大,係由於綠香蕉本身的纖維豐富,即使製成香蕉粉,在顆粒的口感上仍能吃出它的纖維,濃縮整根香蕉的營養,無麩質,具有天然的抗性澱粉,結合方塊酥的酥脆口感,恰好於食用時不顯突兀又爽口。
成分:香蕉方塊酥
容量:370公克
售價:159元
7. 名間鄉農會
推薦人氣伴手禮:松柏長青茶
名間鄉所生產的茶葉,無論是產量或種植面積,皆是全台第一。能有今日的成就,與當地的自然條件及茶農的處世風格,有著極為密切的關係。松柏嶺地區位居八卦山脈最南端,海拔約四百公尺的台地上,比起產製凍頂茶的鹿谷鄉,海拔高度略低,平均氣溫稍高外,其餘的條件,都極適合種茶。首先因地處山脈東面斜坡向陽處,所以一年四季日照充足,倘若又是種植四季春此多產的茶種,一年採收四次以上,是毫無問題的。又台地上處處是紅壤類的土質,適合深耕厚植茶葉。此外,四通八達的公路網,更是其他產茶鄉鎮,所欠缺的優勢。除了上述優良的自然條件外,在地茶農更保有勇於突破,精益求精的態度,亦是開創此茶葉王國的最大功臣。走訪台灣各地的茶區,很難找到一處如名間鄉般,栽植的品種,可以囊括各式的烏龍茶種,如青心烏龍、金萱、翠玉、武夷、四季春等,如此多樣性的栽種,也代表名間鄉民勇於嘗試的性格。
成分:茶葉
容量:75公克*2罐
售價:1600元
8. 南投市農會
推薦人氣伴手禮:投農米
南投市位於南投縣西北隅,貓羅溪貫穿其間,河谷溝渠縱橫,灌溉便利;溪兩側東為南投丘陵,西為八卦山台地,皆屬平坦紅壤土質,與河谷狹小平原,均肥沃適合農耕,因此農產品非常豐富。溪兩岸沖積平原盛產稻米,品質優良,為南投市知名特產之一。南投米灌溉來自濁水溪的優質水源,灌溉水質無汙染,並於產地收穀、烘乾、碾製一貫作業。南投米粒粒飽滿、晶瑩剔透,蒸煮後,散發出甘甜米香,細細咀嚼,滿滿幸福!
成分:稻米
重量:5公斤
售價:220元
9. 國姓鄉農會
推薦人氣伴手禮:國民姓福禮盒
國姓鄉山多平原少,耕作土地相當有限,農民經濟所得也相對不高。經濟產業一直以農業發展為主,多種植檳榔、枇杷、草莓、玫瑰花、香蕉、火鶴、火龍果、芭樂等等。北山茶位列本縣茶中極品;本鄉的香蕉生產為全縣第二位;而南港村則是台灣水鹿的故鄉,補中極品-鹿茸也是本鄉一大特產。初春時節,中潭公路旁的觀光草莓園,垂涎欲滴草莓,吸引遊客駐足採果購買。另外,尚有柑橘、蜜汁楊桃、芭樂、甜桃、無子檸檬、波羅蜜、蜜釋迦、香菇…等特色農特產,待遊客購買品嚐!
組合品:
.香菇 - 來自九份二山微氣候,香氣十足
.冷泉米 - 來自北港橋新豐農場的鴨禾米
.薑黃 - 有機轉型期薑黃滿五年方能採收品質保證
重量:健康菇菇、薑黃粉各50公克,冷泉米500公克
售價:2600元
10. 埔里鎮農會
推薦人氣伴手禮:玫瑰淡酒禮盒
埔里擁有得天獨厚的地理環境,四季氣候溫和及水質純淨甘美,孕育出豐盛的物產,也因此生產出名聞中外的「埔里美酒」;埔里農會特地設立酒莊於風光明媚的風景區──鯉魚潭邊,猶如世外桃源般寧靜優美,因此釀造出優質好酒。埔里農會酒莊,堅持採用代表當地水果與農特產作為原料。為了提升埔里地方農產精緻質量,讓埔里「水甜酒鄉」更加名正言順,埔里酒莊於2002年開始,引進農業改良場研發與農民契作的食用玫瑰,精心釀製的「真情玫瑰」和「玫瑰淡酒」,於2008年和2011年參加比利時布魯塞爾世界酒類評鑑,八十多國同場競爭獲得銀牌獎,為台灣農業在世界酒品市場嶄露頭角。
成分:再製酒、玫瑰花
容量:400ml*2瓶
售價:760元
以上廣告由南投縣政府農業處提供。