如果π不是3.14159...那可以是多少?

如果π不是3.14159...那可以是多少?
Photo Credit: Piledhigheranddeeper at English Wikipedia, CC BY-SA 3.0

我們想讓你知道的是

如果我們修改「距離」的定義,其實可以改變圓周率的數值,但有甚麼限制?

圓周率π是數學中一個重要常數,其定義為圓周跟直徑的長度比率,數值為 3.14159...——它是個無理數,因此是個無限而不循環的小數。今天是3月14日,不少數學、科學愛好者會因為π的近似值是3.14,把這一天訂為「圓周率日」(Pi Day)。

去年我寫過π的一些特性(連結見文末),今年寫寫另一個問題︰π可以不等於3.14159...嗎?這個問題看來奇怪,既然圓周率是個常數,數值自然不會改變,為何會有其他可能?

在1897年,美國印第安納州議會差點通過的「π法案」(Indiana Pi Bill)。這是由一位業餘數學家提出的法案,內容宣稱能夠「化圓為方」——古希臘幾何學家一直希望能解決的難題︰給定一個圓形,用圓規和無刻度直尺畫出相同面積的正方形。不過早於1882年,數學家林德曼(Ferdinand von Lindemann)已證明這不可能做到,「π法案」內提出的解答自然有錯。

雖然「π法案」其實沒有提及「π」本身,但內文其中一句提到「直徑跟圓周之比為五分之四比四」,即指 π = 4/1.25 = 3.2。幸好「π法案」最終未能通過,政治力量始終無法改變數學事實(當然,就算通過了也無改π的數值)。

不過我想說的其實不是「π法案」這類改變,而是π本身可不可能有其他數值。答案是可以的——如果採用「圓周跟直徑的長度比率」這個定義,我就有方法「改變」π的數值。

首先,怎樣畫出一個圓形?很簡單,在平面上先固定某個點,稱為「圓心」,再畫出其他跟圓心保持相同距離的點,那些點連起來就是一個圓形,這條曲線就是圓周。在圓形上其中一點畫一條直線,穿過圓心抵達圓的另一邊,這條線段就是直徑。

Geom_draw_circle_sequence
Image Credit: Mcgill at English Wikibooks, Public Domain

如果用上笛卡爾坐標系,以原點(0,0)為圓心畫出來的圓形,可以用以下方程式表示︰

p_norm_distance

其中r是半徑長度。例如以原點為圓心、半徑為2的圓形就是這樣︰

Cartesian-coordinate-system-with-circle_
Image Credit: < ahref="https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg" target="_blank">345Kai on en.wikipedia, CC BY-SA 3.0

為甚麼會是二次方?因為我們一般定義兩點(x1, y1)及(x2, y2)的距離如下︰

euclidean_distance

這樣定義距離的話,兩點之間最短距離的線會是一條直線,因此這可算是最符合直覺的定義,也是大多數人初學解析幾何時接觸到的定義,這種距離稱為「歐幾里得距離」(Euclidean distance)。

不過數學家總是喜歡把定義推廣,得出不同樣子的「距離」,而「距離」的定義改變後,其空間亦相應改變。其中一種改變方式如下︰

p_norm_distance

其中p是一個大於1的數字,用兩條直線代替括號,代表那是絕對值,確保不會得出負數。這類距離稱為「p範數距離」(p-norm distance),又稱「閔考斯基距離」(Minkowski distance)。當p=2的時候,這就是歐幾里得距離。

由於「圓形」的定義建基於距離,當我們採用另一種方式定義距離時,所畫出來的圓應也會相應改變,以下是一些例子︰

pnorm_circles
Image Credit: Waldir, CC BY-SA 3.0

上圖中藍線上的點跟原點距離相等,但每個坐標中「距離」的定義都不一樣。當p的值改變時,圓周長度亦會相應改變,但直徑長度不變,所以其「圓周率」也會改變,記作πp

而當p=1所得出的距離比較特別,粗略地說,在這種空間內量度兩點的距離時,我們只能沿坐標的橫線和直線量度,如下圖中的紅、藍及黃色線,就像的士只能跟馬路行走,不能穿過大廈一樣,因此這種距離又稱作「的士距離」。

Manhattan_distance_svg
Image Credit: Psychonaut, Public Domain

此外,當p的數值越大時,相應的「圓形」看上去也越來越「胖」,到極限時就會變成以下樣子︰

pinfinte_circle

那麼,圓周率會有甚麼變化呢?數學家C. L. Adler及James Tanton研究過這個問題,並製作以下列表︰

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Image Credit: C. L. Adler & James Tanton (2000)

他們更證明了,當p是1或者無限大時,相應的圓周率數值為4,也是最大的數值,而當p=2的時候,πp的數值最小,也是我們平日常見的那個π = 3.14159...。不過這結果只限於p範數距離,如果我們採用其他方式定義距離,仍然可能得出更小的圓周率。

本文內容取材自數學節目《PBS Infinite Series》其中一集︰

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