如果π不是3.14159...那可以是多少？

圓周率π是數學中一個重要常數，其定義為圓周跟直徑的長度比率，數值為 3.14159...——它是個無理數，因此是個無限而不循環的小數。今天是3月14日，不少數學、科學愛好者會因為π的近似值是3.14，把這一天訂為「圓周率日」（Pi Day）。

去年我寫過π的一些特性（連結見文末），今年寫寫另一個問題︰π可以不等於3.14159...嗎？這個問題看來奇怪，既然圓周率是個常數，數值自然不會改變，為何會有其他可能？

在1897年，美國印第安納州議會差點通過的「π法案」（Indiana Pi Bill）。這是由一位業餘數學家提出的法案，內容宣稱能夠「化圓為方」——古希臘幾何學家一直希望能解決的難題︰給定一個圓形，用圓規和無刻度直尺畫出相同面積的正方形。不過早於1882年，數學家林德曼（Ferdinand von Lindemann）已證明這不可能做到，「π法案」內提出的解答自然有錯。

雖然「π法案」其實沒有提及「π」本身，但內文其中一句提到「直徑跟圓周之比為五分之四比四」，即指 π = 4/1.25 = 3.2。幸好「π法案」最終未能通過，政治力量始終無法改變數學事實（當然，就算通過了也無改π的數值）。

不過我想說的其實不是「π法案」這類改變，而是π本身可不可能有其他數值。答案是可以的——如果採用「圓周跟直徑的長度比率」這個定義，我就有方法「改變」π的數值。

首先，怎樣畫出一個圓形？很簡單，在平面上先固定某個點，稱為「圓心」，再畫出其他跟圓心保持相同距離的點，那些點連起來就是一個圓形，這條曲線就是圓周。在圓形上其中一點畫一條直線，穿過圓心抵達圓的另一邊，這條線段就是直徑。

Image Credit: Mcgill at English Wikibooks, Public Domain

如果用上笛卡爾坐標系，以原點(0,0)為圓心畫出來的圓形，可以用以下方程式表示︰

其中r是半徑長度。例如以原點為圓心、半徑為2的圓形就是這樣︰

Image Credit: < ahref="https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg" target="_blank">345Kai on en.wikipedia, CC BY-SA 3.0

為甚麼會是二次方？因為我們一般定義兩點(x₁, y₁)及(x₂, y₂)的距離如下︰

這樣定義距離的話，兩點之間最短距離的線會是一條直線，因此這可算是最符合直覺的定義，也是大多數人初學解析幾何時接觸到的定義，這種距離稱為「歐幾里得距離」（Euclidean distance）。

不過數學家總是喜歡把定義推廣，得出不同樣子的「距離」，而「距離」的定義改變後，其空間亦相應改變。其中一種改變方式如下︰

其中p是一個大於1的數字，用兩條直線代替括號，代表那是絕對值，確保不會得出負數。這類距離稱為「p範數距離」（p-norm distance），又稱「閔考斯基距離」（Minkowski distance）。當p=2的時候，這就是歐幾里得距離。

由於「圓形」的定義建基於距離，當我們採用另一種方式定義距離時，所畫出來的圓應也會相應改變，以下是一些例子︰

Image Credit: Waldir, CC BY-SA 3.0

上圖中藍線上的點跟原點距離相等，但每個坐標中「距離」的定義都不一樣。當p的值改變時，圓周長度亦會相應改變，但直徑長度不變，所以其「圓周率」也會改變，記作π_p。

而當p=1所得出的距離比較特別，粗略地說，在這種空間內量度兩點的距離時，我們只能沿坐標的橫線和直線量度，如下圖中的紅、藍及黃色線，就像的士只能跟馬路行走，不能穿過大廈一樣，因此這種距離又稱作「的士距離」。

Image Credit: Psychonaut, Public Domain

此外，當p的數值越大時，相應的「圓形」看上去也越來越「胖」，到極限時就會變成以下樣子︰

那麼，圓周率會有甚麼變化呢？數學家C. L. Adler及James Tanton研究過這個問題，並製作以下列表︰

Image Credit: C. L. Adler & James Tanton (2000)

他們更證明了，當p是1或者無限大時，相應的圓周率數值為4，也是最大的數值，而當p=2的時候，π_p的數值最小，也是我們平日常見的那個π = 3.14159...。不過這結果只限於p範數距離，如果我們採用其他方式定義距離，仍然可能得出更小的圓周率。

本文內容取材自數學節目《PBS Infinite Series》其中一集︰

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