如果π不是3.14159...那可以是多少?

我們想讓你知道的是
如果我們修改「距離」的定義,其實可以改變圓周率的數值,但有甚麼限制?
圓周率π是數學中一個重要常數,其定義為圓周跟直徑的長度比率,數值為 3.14159...——它是個無理數,因此是個無限而不循環的小數。今天是3月14日,不少數學、科學愛好者會因為π的近似值是3.14,把這一天訂為「圓周率日」(Pi Day)。
去年我寫過π的一些特性(連結見文末),今年寫寫另一個問題︰π可以不等於3.14159...嗎?這個問題看來奇怪,既然圓周率是個常數,數值自然不會改變,為何會有其他可能?
在1897年,美國印第安納州議會差點通過的「π法案」(Indiana Pi Bill)。這是由一位業餘數學家提出的法案,內容宣稱能夠「化圓為方」——古希臘幾何學家一直希望能解決的難題︰給定一個圓形,用圓規和無刻度直尺畫出相同面積的正方形。不過早於1882年,數學家林德曼(Ferdinand von Lindemann)已證明這不可能做到,「π法案」內提出的解答自然有錯。
雖然「π法案」其實沒有提及「π」本身,但內文其中一句提到「直徑跟圓周之比為五分之四比四」,即指 π = 4/1.25 = 3.2。幸好「π法案」最終未能通過,政治力量始終無法改變數學事實(當然,就算通過了也無改π的數值)。
不過我想說的其實不是「π法案」這類改變,而是π本身可不可能有其他數值。答案是可以的——如果採用「圓周跟直徑的長度比率」這個定義,我就有方法「改變」π的數值。
首先,怎樣畫出一個圓形?很簡單,在平面上先固定某個點,稱為「圓心」,再畫出其他跟圓心保持相同距離的點,那些點連起來就是一個圓形,這條曲線就是圓周。在圓形上其中一點畫一條直線,穿過圓心抵達圓的另一邊,這條線段就是直徑。

如果用上笛卡爾坐標系,以原點(0,0)為圓心畫出來的圓形,可以用以下方程式表示︰

其中r是半徑長度。例如以原點為圓心、半徑為2的圓形就是這樣︰

為甚麼會是二次方?因為我們一般定義兩點(x1, y1)及(x2, y2)的距離如下︰

這樣定義距離的話,兩點之間最短距離的線會是一條直線,因此這可算是最符合直覺的定義,也是大多數人初學解析幾何時接觸到的定義,這種距離稱為「歐幾里得距離」(Euclidean distance)。
不過數學家總是喜歡把定義推廣,得出不同樣子的「距離」,而「距離」的定義改變後,其空間亦相應改變。其中一種改變方式如下︰

其中p是一個大於1的數字,用兩條直線代替括號,代表那是絕對值,確保不會得出負數。這類距離稱為「p範數距離」(p-norm distance),又稱「閔考斯基距離」(Minkowski distance)。當p=2的時候,這就是歐幾里得距離。
由於「圓形」的定義建基於距離,當我們採用另一種方式定義距離時,所畫出來的圓應也會相應改變,以下是一些例子︰

上圖中藍線上的點跟原點距離相等,但每個坐標中「距離」的定義都不一樣。當p的值改變時,圓周長度亦會相應改變,但直徑長度不變,所以其「圓周率」也會改變,記作πp。
而當p=1所得出的距離比較特別,粗略地說,在這種空間內量度兩點的距離時,我們只能沿坐標的橫線和直線量度,如下圖中的紅、藍及黃色線,就像的士只能跟馬路行走,不能穿過大廈一樣,因此這種距離又稱作「的士距離」。

此外,當p的數值越大時,相應的「圓形」看上去也越來越「胖」,到極限時就會變成以下樣子︰

那麼,圓周率會有甚麼變化呢?數學家C. L. Adler及James Tanton研究過這個問題,並製作以下列表︰

他們更證明了,當p是1或者無限大時,相應的圓周率數值為4,也是最大的數值,而當p=2的時候,πp的數值最小,也是我們平日常見的那個π = 3.14159...。不過這結果只限於p範數距離,如果我們採用其他方式定義距離,仍然可能得出更小的圓周率。
本文內容取材自數學節目《PBS Infinite Series》其中一集︰
相關文章︰
核稿編輯:
綠能x數位,科技助攻水產養殖產業升級

我們想讓你知道的是
水產養殖結合太陽光電是一種創新的經營模式,讓漁場除了既有的漁獲外,更能提供綠電創造額外收益,國內更有漁場順勢導入數位工具管理養殖環境,持續提升水產質量。我們可以看到,數位與能源的雙軸轉型正在養殖漁業發生。
糧食生產是農漁業的主要功能,順應環境選擇不同的作物與耕種策略,是農漁民智慧的累積,臺灣的農漁業實力更是享譽國際。然而,由於整體產業結構轉型、生活型態轉變,傳統看天吃飯的一級產業,較不容易成為新世代就業的優先選項,如何在現有產業基礎上創造新商機、吸引年輕人返鄉,是各界都在思考的課題。
近年來,各國政府致力推動再生能源以實踐減碳,在不同場域、建物等結合光電開發的複合式發展模式,成為兼顧空間利用效率、提高單位面積產值的創新解決方案,這樣的趨勢正在農漁業現場發生。
農漁業結合光電創造附加價值
農電共生可提供自給自足的再生能源,還能保護農作物免受極端天氣影響,提高生產韌性,多餘的電力也可以躉售,提升農民收入。著眼於光電帶來的附加價值,越來越多國家看好農業結合太陽光電的發展潛力,德國、日本已有多個果園結合太陽光電從事農電共生,法國也實驗在成列的葡萄藤上安裝太陽光電模組。
不只農業,國際也開始出現結合水產養殖與太陽光電的漁電共生。例如美國切薩皮克灣(Chesapeake Bay)發展出太陽能牡蠣生產系統,不僅實現綠電自發自用,漁產收穫量更高達傳統養殖場的45倍;而在養蝦大國越南,也開始執行養蝦場結合太陽能發電的漁電共生計畫,為養殖場提供穩定電力並帶來漁獲,一舉兩得。

數位轉型為漁電共生添助力
漁電共生是利用漁業養殖場域結合太陽光電設置,期能改善生產環境、增加漁民收益,創造土地多元利用,是臺灣積極推動的重要政策方向之一。不過其他國家與臺灣的漁電共生開發型態不太一樣,其他國家多以沿海鋪設水面型光電為主,臺灣的漁電共生則採用室內養殖場搭配屋頂型光電,或室外魚塭搭配立柱型/水面型/塭堤型光電設備,近年來在許多漁民與光電業者的努力合作下,這樣的複合式土地利用模式逐漸展現效益。
不同養殖物種的環境需求不一,漁電共生導入的過程須經磨合,運用魚塭上方架設太陽能板,冬天防寒害、夏天助降溫,並配合不同物種的習性調整投料策略,同時結合數位環境監控系統調節養殖環境,進而達到提高漁獲收益之積極目的。

光電開發帶來的效益,也讓原本衰頹的產業地景重現生機,例如位於臺南七股的日運案場,原本是高鹽度的廢棄魚塭地,在養殖專家與在地青年的協力下,透過微生物、益生菌來控制池水,搭配AI數位化儀器監控養殖過程,持續累積養殖數據建立資料庫,烏魚、虱目魚、白蝦的混養模式已多次收成;四鯤鯓漁電共生案場過去同樣是廢棄魚塭,改建為室內型漁電共生案場後,能精準控制環境變數以從事精緻養殖,已成功育成一尾重達30克以上的白蝦。
由於漁電共生帶來的效益逐漸獲得認同,有別於過去多為光電業者發起的開發模式,最近也出現由漁民發起的漁電共生規劃,例如茄萣區不少養殖戶視漁電共生為吸引青農返鄉的契機,積極爭取納入漁電共生先行區;目前採用塭堤型與立柱型的光電設施,養殖的虱目魚也已開始收成。

養殖漁業正在實現數位與能源的雙軸轉型
數十年來漁民的養殖專業與經營視野,讓臺灣水產養殖產業在國際上向來有一席之地,但近年來確實也面臨產業結構轉型、從業人口老化凋零的挑戰;如今結合光電的漁電共生模式,讓原本看似傳統的一級產業開始蛻變,養殖模式、經營模式、商業模式不斷創新,也吸引更多青年關注與投入;臺灣養殖王國的美名,相信在不久的未來,將藉由數位與能源的雙軸轉型,再次展現耀眼光芒。
(經濟部能源署廣告)