無窮小的危機：折磨數學家數百年的「芝諾悖論」

作者：蘇惠玉

在現行的高中數學課程規劃中，學生要到高三進入微積分課程之後才會開始接觸到「無窮（infinity）」的觀念。然而無窮在整個數學知識體系上的地位卻是至關重大，甚至有一些觀點認為「數學就是研究無窮的科學」，學生在這一階段的學習若無法跨過無窮這一關，將數學觀念適當地從有限跨越到無限的領域，他（她）將無法接受更進一步的數學學習與知識。我在接下來的幾篇文章中，會先從數學史的角度一步步地簡單釐清一些與無窮有關的問題；接著再帶領讀者們經歷與體會在微積分發展初期所面對的問題，以及幾個數學家的解決策略，希望讓讀者們對微積分所呈現出來的樣貌有更深一層的體會與欣賞。

一、連續變動或是粒子組成

西元前五世紀早期，古希臘的哲學家在觀察大自然的循環與變化時，想要從古代神話之外的觀點來了解、解釋自然世界的變化。他們感興趣的問題像是：人類的感官知覺是否可靠、外在世界的變化是否會對人類的感官造成誤導、世界由什麼組成、人類怎麼認識世界等等問題。首先提出這些問題的哲學家為赫拉克利特（Heraclitus, 540 B.C.- 480 B.C.）與巴門尼德（Parmenides of Elea，約515 B.C.- 440 B.C.）。赫拉克利特認為世界是持續變化的，萬事萬物都可能是變化的主角，他最著名的一句話即是：「我們不可能經過同一條河流兩次」。而巴門尼德則認為變化是不可能的，世界上沒有真正的變化。他堅持只有理性才是可信任的，感官知覺並不可靠，又容易造成誤導。同時，他也認為，萬事萬物不可能來自於虛無，必須要有某一種物質（the One）的存在。

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到了西元前五世紀後期，哲學家們主要分成兩派，一派擁護巴門尼德的觀點，另一派即持反對的態度。從赫拉克利特與巴門尼德的對話中，引申出來的問題便是：萬物的組成元素是什麼？在這其中有二個極端的觀點，阿納克薩哥拉（Anaxagoras of Clazomenae，約510 B.C.- 428 B.C.）認為大自然是由無數肉眼看不見的微小粒子組成，所有的事物都可以分割成更小的部分。而原子論開山始祖德謨克利特（Democritus，約460 B.C.- 370 B.C.）認為每一種事物皆由微小的、不可能再分割的基本單位構成，事實上，原子（atom）這個字的本意即是「不可分割的」。

支持巴門尼德觀點的人中最重要的人物，當屬巴門尼德的學生，依利亞的芝諾（Zeno of Elea，約490 B.C.- 430 B.C.）。芝諾為了替巴門尼德的“the One”這種觀點辯護，聲稱變化、運動的不可能，他以四個悖論，針對這兩派的觀點以及他們所提出的辯解進行攻擊。所謂的「悖論（paradox）」指邏輯推論上沒有問題，但是違反直觀的論證。前二個悖論針對的是事物可以無限分割（ad infinitum）這一觀點；後二個悖論，則針對事物有最小的不可分割單位的觀點。這四個悖論結果，都成了運動是不可能的「證明」。它們也是西方世界很長一段時間避談無窮，選擇以迂迴方式處理無窮問題的「罪魁禍首」之一。

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二、芝諾悖論

有關芝諾的這四個悖論，芝諾本人並沒有清楚的著作或文獻流傳下來，目前我們只能從亞里斯多德在他的著作中所提及的得知芝諾四個悖論的部分內容：

第一個悖論稱為「二分悖論」（Dichotomy）：

運動是不可能的。因為在到達另一邊的端點前，必須先經過路徑的中點。
There is no motion because that which is moved must arrive at the middle (of its course) before it arrives at the end.

第二個悖論稱為「阿基里斯悖論」（Achilles）：

較慢者絕不會被較快者追趕過去。因為追趕者必須經過在前頭跑者經過的每一點。所以較慢者一定在較快者的某一段距離之前。
This asserts that the slower when running will never be overtaken by the quicker; for that which is pursuing must first reach the point from which that which is fleeing started, so that the slower must necessarily always be some distance ahead.

第三個悖論為「箭矢悖論」（Arrow）：

如果每一個物體當它占據與自己相同空間時，不是靜止不動就是在運動中，然而，在一瞬間物體已經運動完成，所以飛矢不動。
If everything is either at rest or in moving when it occupies a space equal （to itself） , while the object moved is always in the instant （in the now） , the moving arrow is unmoved.

第四個悖論為「運動場悖論」（Stadium）：

第四個悖論關於兩列由相同大小相同數目的物體所組成的運動體，以相同的速度，相反的方向經過彼此。一列從路徑的端點，一列從中點出發。結果是時間與它的一半相等。
The fourth is the argument concerning the two rows of bodies each composed of an equal number of bodies of equal size, which pass one another on a race­course as they proceed with equal velocity in opposite directions, one row starting from the end of the course and the other from the middle. This involves the conclusion that half a given time is equal to its double.

就希臘數學史大師希斯（Thomas L.Heath,1861-1940）對這四個悖論的觀察，他認為它們剛好形成一個非常有趣且有系統的對稱性。第一個和第四個是關於有限空間的運動，而第二個和第三個之運動長度是不定的。第一個和第三個的運動個體只有一個，第二個和第四個則比較兩個物體的運動，說明了相對運動與絕對運動同樣的不可能。第一個和第二個悖論以空間的連續性，而不管時間是否連續來說明運動的不可能，第三個和第四個則以時間來說明。

在第一個與第二個悖論中，芝諾主打的觀點為空間是連續的，因此在每一個點之後都還有另一個點。亞里斯多德認為前二個悖論的謬誤，在於芝諾沒有體認到時間與空間一樣是可以無窮分割的。然而，數學史家希斯卻認為芝諾其實了解時間與空間同樣可以是無窮分割的。

讓我們以現代的術語來解釋，這兩個悖論其實很容易用無窮級數求和以及極限的觀念來反駁，例如，第一個悖論中，用1/2+1/4+1/8+...=1即可證明這個悖論的錯誤；在「阿基里斯悖論」中，只要假設雙方速度，就很容易說明，甚至計算阿基里斯何時超越烏龜。因此，希斯認為這兩個悖論的重點不在於「何時」，而在於「如何」。芝諾的論述在「二分悖論」的無窮分割假設中，認為絕對沒有辦法達到所謂的「極限」；而在「阿基里斯悖論」中，認為雖然相隔的距離逐漸縮短，卻也絕對不會消失。換言之，「如何」達到這一點，才是這兩個悖論的重點所在，如何說明贊同他的論點，或如何反駁他的論點，到達終點或超越較慢者。