歐姆定律學這麼久，你真的用過電表量燈泡的電阻嗎？
我們想讓你知道的是
科學雖然是以數學為「語言」或思考的工具，但是，科學的根本在於實驗。雖然大家都很聰明，數學程度也很好，然而，許多我們「想當然爾」的事情，事實卻未必如此，所以，絕對不要輕忽了實驗的價值。
文：蔡坤憲
你可曾想過，市售60W的傳統白熱燈泡（工作電壓110V），電阻大小為何嗎？
我相信，大部分學過國高中物理的同學應該都能計算出，這個燈泡的電阻約為200Ω。教科書中常見解題方法是：從「電功率等於電流乘以電壓（P=IV）」的公式，再配合歐姆定律（V=IR），做一點簡單的代數運算便能得出答案。
我心中的疑問是，在面對這樣的問題時，有多少物理或理化老師曾拿出三用電表，讓學生實際去測量一下傳統燈泡的電阻大小？至少我自己從沒有想過需要「多此一舉」。最基本的理由當然是：考試不會這樣考；特別是，雖然三用電表很常見，但卻不在國高中物理的課程範圍內。對考試而言，學生只需要學會「選對公式」與「代數運算」即可。程度稍好的同學，甚至可以迅速地推理出：因為電阻與電功率成反比，所以功率愈高的燈泡，其電阻愈小，這類所謂的「觀念題」。因此，我原本的教學方式，是先講解並推導公式，再準備許多數字不同的相似題，讓學生反覆練習，以及不厭其煩地在黑板前講解，希望學生透過一次又一次的抄寫與聽講，能「發現」這些表面看似不同的問題，其實都是「換湯不換藥」的。
我們是在「教數學」，還是「教物理」？
多年下來，我從來都不覺得這個教法有問題，甚至還覺得蠻成功的！在經驗上學生比較難理解的地方，應該是從電流與電壓的觀念（或定義）出發，得出「電功率等於電流與電壓的乘積」的結論：
整個推理過程用了幾個定義來推理：
- 首先是電功率P=E/t，單位時間t內生產或消耗的電能E。。
- 其次是電壓V=E/q，，單位電荷q所具有的電能E。移項運算之後可得E=q•V。
- 最後是電流I=q/t，單位時間t內通過某截面積的電量多寡q。
因此，整個思考過程是從電功率、電壓與電流的定義出發，佐以代數運算，從而得出「電功率等於電壓與電流的乘積」這個結論（或說公式）。我猜想，大多數物理老師都會覺得，這是一段「很優美」的推理過程，雖然許多同學可能會抱持著另一種看法。
你用過三用電表測量燈泡的電阻嗎？
故事發生在前幾年，我曾教過一位程度不錯，但卻「不喜歡」學校的學生。在年滿十六歲、讀完Year 11後，在家長的同意之下，離開了中學，開始了電工的學徒生涯。簡單來說，他是一邊擔任電工技師的助手，同時也一邊就讀函授課程，類似台灣的職業學校。
在某一天的放學後，他帶著三用電表與一個小燈泡（12V，5W）來問我問題。這個問題的第一小題是要計算該燈泡的電組大小，第二小題則是要以三用電表實際去測量燈泡的電阻，第三小題則是要學生回答「理論值」與「實驗值」是否相同，並解釋原因。大家或許不難想像，第二小題就把我給難倒了！
第一小題的解答很簡單，如前所述，代個公式就算出來了，答案約為30Ω：
然而，大家猜猜看我用電錶實際測量的結果是多少？答案是：3.7Ω（圖一）！驚訝之餘，也讓我沒甚麼信心去回答第三小題。因為理論值與實驗值實在相差太多！我曾經一度以為是三用電表壞了！總之，在換過幾個三用電表之後，仍然大惑不解，於是決定「投降」，無奈地說道：我猜是跟燈泡的溫度有關，不過我需要再想想，過兩天再跟你說！
隔天在教師晨會後，我利用時間跟同事說了昨天放學後的事，並向他請教「如何用三用電表來量燈泡的電阻？」的問題。這位有著四十多年物理教學經驗的資深同事開口的第一句話是：「你知道，燈泡的電阻要在『工作狀態』下測量嗎？」那一瞬間，我想我懂了，脫口而出地回答了：「啊哈，我想我懂了！」這和我昨天的猜測一樣。然而，從這個「啊哈」，到實際動起手測量，過程還是有點曲折。譬如說，工作中的燈泡，其實很燙，根本沒辦法用手拿，而且也不知道要開燈多久之後，才適合拆下來做測量？三用電表也沒辦法直接去測量一個通電、發光中的燈泡電阻等等。
換個方式教歐姆定律
幾番摸索與上網搜尋資料之後，我理解到，就回答這位學生的問題而言，關鍵在於：三用電表無法「直接測量」電燈泡的電阻，而是需要利用歐姆定律「間接測量」而得。也就是說，我們要先把燈泡與電源串連接好，然後以三用電表分別測量經過燈泡的電流與電壓大小，再透過歐姆定律（R=V/I）來計算電阻（圖二）。
學過電阻的同學大都知道二件事。首先，電阻材料有歐姆與非歐姆之分。所謂歐姆材料是指電流與電壓成正比（線性關係）的材料，大多數的金屬都屬於歐姆材料；而非歐姆材料則是指電壓與電流之間存在著非線性關係，教科書最常舉的例子是半導體與二極體。其次，大多數金屬導體的電阻值會隨溫度的升高而增加，絕緣體與半導體則相反。這個現象背後的原理，與原子、分子的結構有關。大多數的學生也都能理解，以金屬為例，溫度升高時，原子的震動較為劇烈，電子在流經導體的過程中，與原子發生碰撞的機率增加，使得電子的流速（電流）減小，亦即電阻增大。
然而，在我們傳統的教學（或考試）方式中，上述的這兩個現象，似乎是獨立的兩件事。因此，在試著回答了這位「電工學徒」學生所帶來的問題之後，啟發了我改從實驗的角度，來介紹電阻與歐姆定律，並嘗試連結上述那兩件獨立無關的現象。
首先，我直接以三用電表來介紹電阻：以電路板上常見的定值電阻元件為例，介紹色環的意義，並讓學生直接從三用電表做測量，再與色環所標示的數值做比較。
接下來是透過「電壓與電流成正比」的簡單實驗（圖二），我特意挑了一個30Ω的定值，讓學生以圖二的方式連接電路，並做測量，自行得出「電流與電壓成正比」的結論，結果如圖三所示。紐西蘭的高中學生對於物理量之間的「正比」關係，算是相當熟悉的，學生從Year 11開始便有很好的訓練（參見前文：紐西蘭物理實驗的評量方式：以虎克定律為例），因此根據數據，繪製出電壓與電流的函數關係圖，並由「斜率」而得出電阻值；這對他們而言並不困難，而且也能充分體會數據背後的物理意涵。在學生以數據繪圖之前，我有稍加提醒：雖然電壓是操縱變因，電流是應變變因，但是，我們在此特意以電壓為縱軸、電流為橫軸來繪圖，如此一來，根據歐姆定律，函數圖中的斜率即等於電阻大小（註）。
之後，我拿出大家都熟悉的傳統燈泡（12V，5W），提出第一個問題：這個燈泡的電阻大小為何？接著，我直接從理論開始，先介紹電功率的觀念，再透過歐姆定律，計算出該燈泡的電阻大小。之後，我拿三用電表給學生，讓他們自己去測量燈泡的電阻值大小。簡單來說，就是讓他們經歷一次我之前有過的困惑：為什麼理論值會與實驗值差這麼多？幾位腦筋轉得快的學生，很快就聯想到剛剛的實驗，知道可以透過「間接」的方式來測量燈泡的電阻值。
很快地，在實驗結果出爐之後（圖四），我們不僅可以得出燈泡在工作電壓與工作溫度時的電阻值大小，這個與理論值（28.8Ω，圖五）很接近：
- 工作電壓：11.30V（理論值：12.0V）
- 流經燈泡的電流：0.37A
- 燈泡電阻：11.30 ÷ 0.37 = 30.5Ω（理論值：28.8Ω）
- 燈泡功率：11.30 × 0.37 = 4.2W（理論值：5.0W）
也可以討論誤差（約6％）的來源。
感覺比較親切的非歐姆材料：傳統白熱燈泡
此外，稍微仔細比較一下定值電阻與傳統燈泡的電壓－電流關係圖，很明顯地，定值電阻的電壓與電流是成正比，在函數關係圖中是一條直線（圖三），而傳統燈泡則為一條曲線（圖四），是明顯地「非線性」關係。值得一提的是，雖然我們沒有特別去測量「電壓為零」時的電流大小，然而，這個情況的答案很明顯，燈泡在通電之前，電流大小當然為零。也就是說，在測量電阻所得的電流－電壓關係圖，表示結果數值的曲線是會通過原點的。
從教學的角度而言，關於非歐姆材料，教科書中常以真空管、半導體、二極體或電晶體為例，對於已讀過物理系的老師而言，當然是沒問題。然而，對於首次接觸到這個問題的高中同學而言，我相信，市售的傳統鎢絲燈泡，應該會比較「親切」一些。
思考題：燈泡的工作溫度為何？
最後，我提出一個挑戰題：我們可否根據電阻隨溫度增高而增大的關係，來估計燈泡的工作溫度？這個問題本身，並不在紐西蘭的高中物理範圍，所以我直接跟學生介紹，科學家根據實驗得出：電阻的變化量（∆R）正比於溫度的變化量（∆T）。具體的數學式為（學過大一普通物理的讀者或許不會覺得陌生）：
代入數值則為：
其中，α是溫度係數，鎢的溫度係數為4.5x10-3K-1。因為絕對溫度每一度的溫差與攝氏溫標相同，所以我沒有和學生深究這些細節。經過簡單的計算，我們可以估計燈泡的工作溫度約為1700°C。我再以此數值呼應同學已知的化學常識：鎢絲的熔點為攝氏3400度。雖然燈絲的溫度可能接近二千度的高溫，但還未達鎢絲的熔點。
透過這樣一個簡單的實驗與數學計算，我希望讓學生體會一下，科學或物理，並不是只有存在於課本或考卷裡，更不是科學家專屬的知識！他們也能自己動手、思考，從探索日常生活中的一些「不疑處」開始，去驗證課本或科學家所提出的種種數據或理論。
科學（理化）課不應該是另一種「數學課」
大家應該都相當熟悉量筒的使用方法：在量水的體積時，視線要對齊量筒內液面的最低點（meniscus）。這幾年在紐西蘭服務的經驗，讓我為Year 9，這群剛上高中的小朋友，開發了一個「挑戰一百毫升」的教學活動。
在講台上，我左手拿一個25ml的小量筒，右手拿一個250ml的小燒杯，然後問學生：我把這個量筒裝滿水（25ml），倒進燒杯裡，相同的步驟再一次，燒杯裡現在有多少水？全班很齊地回答我：50ml。再一次？全班又答：75ml。再一次？答案當然是100ml。然後，我宣布說：很好，你們今天的任務就是「取100ml的水」。接著，我就拿著一個100ml的大量筒坐在我的座位上，等著他們取水來讓我檢查。
果不其然，在我當著學生的面，把他們燒杯裡的水，倒進這個大量筒時，我看到是一張張感到意外或驚訝的臉龐。所有的誤差都在5ml以上，也讓學生感到「不信邪」，主動地回去再試一次或好幾次。這個教學活動很簡單，其實用不到三十分鐘，慢慢就有小組可以讓誤差小到2ml以下。接著我才開始對全班說明，由於表面張力的緣故，量筒的液體表面會有彎曲現象，以及正確的測量方法等等。
透過這樣一個簡單的教學活動，我自己深刻地體會到，科學與數學的不同：科學雖然是以數學為「語言」或思考的工具，但是，科學的根本在於實驗。雖然大家都很聰明，數學程度也很好，然而，許多我們「想當然爾」的事情，事實卻未必如此，所以，絕對不要輕忽了實驗的價值。量筒中的水的體積、燈泡的電阻等等，都告訴我們：在科學裡，動手與動腦一樣重要。
我心中有個小角落，很高興地覺得：自己愈來愈不像個「數學老師」！
註釋：感謝彰化師大物理系退休副教授林踐老師為文指正：「文中兩個圖（圖三與圖四）的x座標應為電壓而非電流，畢竟電壓是自變項，應取為x軸，電流是應變項，為y軸，I-V圖如果是一條斜直線，表示電阻值是一個定值，為線性元件，如果是曲線，電阻就會隨輸入電壓變化，歐姆定律仍然有效，元件是非線性元件，電阻值表示為輸入電壓時的電阻，就如同三用電表上的3.7歐姆為三用表內建電壓時量到的電阻，自然與100V時的電壓是不同的電阻值。」
敬覆林老師如下：關於座標軸，x軸為自變量，y軸為因變量的問題。這一點，我是清楚的，只不過，在紐西蘭的實驗評量中，他們強調斜率的意義，因而「允許」學生把因變量放在x軸，而把自變量放在y軸，但在分析數值時需要提出說明與解釋，歐姆定律實驗就是一個很普遍的例子，因為紐西蘭的高中物理內容並無「電導」的概念，因此，學生無法解釋I-V圖中斜率的意義，大多數學生也很難掌握「斜率的倒數」的意義。這一點，在我剛到紐西蘭服務時，也遭遇過困擾，只是「入境隨俗」，我也就跟著大家一起遷就學生的數學程度了。我行文的本意，是希望分享紐西蘭的物理教育現場，但基於學科的嚴謹性，以及避免台灣的同學感到混淆，在考慮因變量與自變量的關係時，圖三與圖四以I-V圖重新繪製如下：
責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航