歐姆定律學這麼久，你真的用過電表量燈泡的電阻嗎？

文：蔡坤憲

你可曾想過，市售60W的傳統白熱燈泡（工作電壓110V），電阻大小為何嗎？

我相信，大部分學過國高中物理的同學應該都能計算出，這個燈泡的電阻約為200Ω。教科書中常見解題方法是：從「電功率等於電流乘以電壓（P=IV）」的公式，再配合歐姆定律（V=IR），做一點簡單的代數運算便能得出答案。

我心中的疑問是，在面對這樣的問題時，有多少物理或理化老師曾拿出三用電表，讓學生實際去測量一下傳統燈泡的電阻大小？至少我自己從沒有想過需要「多此一舉」。最基本的理由當然是：考試不會這樣考；特別是，雖然三用電表很常見，但卻不在國高中物理的課程範圍內。對考試而言，學生只需要學會「選對公式」與「代數運算」即可。程度稍好的同學，甚至可以迅速地推理出：因為電阻與電功率成反比，所以功率愈高的燈泡，其電阻愈小，這類所謂的「觀念題」。因此，我原本的教學方式，是先講解並推導公式，再準備許多數字不同的相似題，讓學生反覆練習，以及不厭其煩地在黑板前講解，希望學生透過一次又一次的抄寫與聽講，能「發現」這些表面看似不同的問題，其實都是「換湯不換藥」的。

我們是在「教數學」，還是「教物理」？

多年下來，我從來都不覺得這個教法有問題，甚至還覺得蠻成功的！在經驗上學生比較難理解的地方，應該是從電流與電壓的觀念（或定義）出發，得出「電功率等於電流與電壓的乘積」的結論：

整個推理過程用了幾個定義來推理：

• 首先是電功率P=E/t，單位時間t內生產或消耗的電能E。。
• 其次是電壓V=E/q，，單位電荷q所具有的電能E。移項運算之後可得E=q•V。
• 最後是電流I=q/t，單位時間t內通過某截面積的電量多寡q。

因此，整個思考過程是從電功率、電壓與電流的定義出發，佐以代數運算，從而得出「電功率等於電壓與電流的乘積」這個結論（或說公式）。我猜想，大多數物理老師都會覺得，這是一段「很優美」的推理過程，雖然許多同學可能會抱持著另一種看法。

你用過三用電表測量燈泡的電阻嗎？

故事發生在前幾年，我曾教過一位程度不錯，但卻「不喜歡」學校的學生。在年滿十六歲、讀完Year 11後，在家長的同意之下，離開了中學，開始了電工的學徒生涯。簡單來說，他是一邊擔任電工技師的助手，同時也一邊就讀函授課程，類似台灣的職業學校。

在某一天的放學後，他帶著三用電表與一個小燈泡（12V，5W）來問我問題。這個問題的第一小題是要計算該燈泡的電組大小，第二小題則是要以三用電表實際去測量燈泡的電阻，第三小題則是要學生回答「理論值」與「實驗值」是否相同，並解釋原因。大家或許不難想像，第二小題就把我給難倒了！

第一小題的解答很簡單，如前所述，代個公式就算出來了，答案約為30Ω：

然而，大家猜猜看我用電錶實際測量的結果是多少？答案是：3.7Ω（圖一）！驚訝之餘，也讓我沒甚麼信心去回答第三小題。因為理論值與實驗值實在相差太多！我曾經一度以為是三用電表壞了！總之，在換過幾個三用電表之後，仍然大惑不解，於是決定「投降」，無奈地說道：我猜是跟燈泡的溫度有關，不過我需要再想想，過兩天再跟你說！

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隔天在教師晨會後，我利用時間跟同事說了昨天放學後的事，並向他請教「如何用三用電表來量燈泡的電阻？」的問題。這位有著四十多年物理教學經驗的資深同事開口的第一句話是：「你知道，燈泡的電阻要在『工作狀態』下測量嗎？」那一瞬間，我想我懂了，脫口而出地回答了：「啊哈，我想我懂了！」這和我昨天的猜測一樣。然而，從這個「啊哈」，到實際動起手測量，過程還是有點曲折。譬如說，工作中的燈泡，其實很燙，根本沒辦法用手拿，而且也不知道要開燈多久之後，才適合拆下來做測量？三用電表也沒辦法直接去測量一個通電、發光中的燈泡電阻等等。

換個方式教歐姆定律

幾番摸索與上網搜尋資料之後，我理解到，就回答這位學生的問題而言，關鍵在於：三用電表無法「直接測量」電燈泡的電阻，而是需要利用歐姆定律「間接測量」而得。也就是說，我們要先把燈泡與電源串連接好，然後以三用電表分別測量經過燈泡的電流與電壓大小，再透過歐姆定律（R=V/I）來計算電阻（圖二）。

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學過電阻的同學大都知道二件事。首先，電阻材料有歐姆與非歐姆之分。所謂歐姆材料是指電流與電壓成正比（線性關係）的材料，大多數的金屬都屬於歐姆材料；而非歐姆材料則是指電壓與電流之間存在著非線性關係，教科書最常舉的例子是半導體與二極體。其次，大多數金屬導體的電阻值會隨溫度的升高而增加，絕緣體與半導體則相反。這個現象背後的原理，與原子、分子的結構有關。大多數的學生也都能理解，以金屬為例，溫度升高時，原子的震動較為劇烈，電子在流經導體的過程中，與原子發生碰撞的機率增加，使得電子的流速（電流）減小，亦即電阻增大。

然而，在我們傳統的教學（或考試）方式中，上述的這兩個現象，似乎是獨立的兩件事。因此，在試著回答了這位「電工學徒」學生所帶來的問題之後，啟發了我改從實驗的角度，來介紹電阻與歐姆定律，並嘗試連結上述那兩件獨立無關的現象。

首先，我直接以三用電表來介紹電阻：以電路板上常見的定值電阻元件為例，介紹色環的意義，並讓學生直接從三用電表做測量，再與色環所標示的數值做比較。

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接下來是透過「電壓與電流成正比」的簡單實驗（圖二），我特意挑了一個30Ω的定值，讓學生以圖二的方式連接電路，並做測量，自行得出「電流與電壓成正比」的結論，結果如圖三所示。紐西蘭的高中學生對於物理量之間的「正比」關係，算是相當熟悉的，學生從Year 11開始便有很好的訓練（參見前文：紐西蘭物理實驗的評量方式：以虎克定律為例），因此根據數據，繪製出電壓與電流的函數關係圖，並由「斜率」而得出電阻值；這對他們而言並不困難，而且也能充分體會數據背後的物理意涵。在學生以數據繪圖之前，我有稍加提醒：雖然電壓是操縱變因，電流是應變變因，但是，我們在此特意以電壓為縱軸、電流為橫軸來繪圖，如此一來，根據歐姆定律，函數圖中的斜率即等於電阻大小（註）。