歐姆定律學這麼久,你真的用過電表量燈泡的電阻嗎?

歐姆定律學這麼久,你真的用過電表量燈泡的電阻嗎?
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我們想讓你知道的是

科學雖然是以數學為「語言」或思考的工具,但是,科學的根本在於實驗。雖然大家都很聰明,數學程度也很好,然而,許多我們「想當然爾」的事情,事實卻未必如此,所以,絕對不要輕忽了實驗的價值。

文:蔡坤憲

你可曾想過,市售60W的傳統白熱燈泡(工作電壓110V),電阻大小為何嗎?

我相信,大部分學過國高中物理的同學應該都能計算出,這個燈泡的電阻約為200Ω。教科書中常見解題方法是:從「電功率等於電流乘以電壓(P=IV)」的公式,再配合歐姆定律(V=IR),做一點簡單的代數運算便能得出答案。

我心中的疑問是,在面對這樣的問題時,有多少物理或理化老師曾拿出三用電表,讓學生實際去測量一下傳統燈泡的電阻大小?至少我自己從沒有想過需要「多此一舉」。最基本的理由當然是:考試不會這樣考;特別是,雖然三用電表很常見,但卻不在國高中物理的課程範圍內。對考試而言,學生只需要學會「選對公式」與「代數運算」即可。程度稍好的同學,甚至可以迅速地推理出:因為電阻與電功率成反比,所以功率愈高的燈泡,其電阻愈小,這類所謂的「觀念題」。因此,我原本的教學方式,是先講解並推導公式,再準備許多數字不同的相似題,讓學生反覆練習,以及不厭其煩地在黑板前講解,希望學生透過一次又一次的抄寫與聽講,能「發現」這些表面看似不同的問題,其實都是「換湯不換藥」的。

我們是在「教數學」,還是「教物理」?

多年下來,我從來都不覺得這個教法有問題,甚至還覺得蠻成功的!在經驗上學生比較難理解的地方,應該是從電流與電壓的觀念(或定義)出發,得出「電功率等於電流與電壓的乘積」的結論:

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整個推理過程用了幾個定義來推理:

  • 首先是電功率P=E/t,單位時間t內生產或消耗的電能E。。
  • 其次是電壓V=E/q,,單位電荷q所具有的電能E。移項運算之後可得E=q•V。
  • 最後是電流I=q/t,單位時間t內通過某截面積的電量多寡q。

因此,整個思考過程是從電功率、電壓與電流的定義出發,佐以代數運算,從而得出「電功率等於電壓與電流的乘積」這個結論(或說公式)。我猜想,大多數物理老師都會覺得,這是一段「很優美」的推理過程,雖然許多同學可能會抱持著另一種看法。

你用過三用電表測量燈泡的電阻嗎?

故事發生在前幾年,我曾教過一位程度不錯,但卻「不喜歡」學校的學生。在年滿十六歲、讀完Year 11後,在家長的同意之下,離開了中學,開始了電工的學徒生涯。簡單來說,他是一邊擔任電工技師的助手,同時也一邊就讀函授課程,類似台灣的職業學校。

在某一天的放學後,他帶著三用電表與一個小燈泡(12V,5W)來問我問題。這個問題的第一小題是要計算該燈泡的電組大小,第二小題則是要以三用電表實際去測量燈泡的電阻,第三小題則是要學生回答「理論值」與「實驗值」是否相同,並解釋原因。大家或許不難想像,第二小題就把我給難倒了!

第一小題的解答很簡單,如前所述,代個公式就算出來了,答案約為30Ω:

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然而,大家猜猜看我用電錶實際測量的結果是多少?答案是:3.7Ω(圖一)!驚訝之餘,也讓我沒甚麼信心去回答第三小題。因為理論值與實驗值實在相差太多!我曾經一度以為是三用電表壞了!總之,在換過幾個三用電表之後,仍然大惑不解,於是決定「投降」,無奈地說道:我猜是跟燈泡的溫度有關,不過我需要再想想,過兩天再跟你說!

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圖一:室溫時的燈泡電阻大小。

隔天在教師晨會後,我利用時間跟同事說了昨天放學後的事,並向他請教「如何用三用電表來量燈泡的電阻?」的問題。這位有著四十多年物理教學經驗的資深同事開口的第一句話是:「你知道,燈泡的電阻要在『工作狀態』下測量嗎?」那一瞬間,我想我懂了,脫口而出地回答了:「啊哈,我想我懂了!」這和我昨天的猜測一樣。然而,從這個「啊哈」,到實際動起手測量,過程還是有點曲折。譬如說,工作中的燈泡,其實很燙,根本沒辦法用手拿,而且也不知道要開燈多久之後,才適合拆下來做測量?三用電表也沒辦法直接去測量一個通電、發光中的燈泡電阻等等。

換個方式教歐姆定律

幾番摸索與上網搜尋資料之後,我理解到,就回答這位學生的問題而言,關鍵在於:三用電表無法「直接測量」電燈泡的電阻,而是需要利用歐姆定律「間接測量」而得。也就是說,我們要先把燈泡與電源串連接好,然後以三用電表分別測量經過燈泡的電流與電壓大小,再透過歐姆定律(R=V/I)來計算電阻(圖二)。

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圖二:歐姆定律的實驗電路圖,也是用來測量傳統白熱燈炮電阻值的方法。

學過電阻的同學大都知道二件事。首先,電阻材料有歐姆與非歐姆之分。所謂歐姆材料是指電流與電壓成正比(線性關係)的材料,大多數的金屬都屬於歐姆材料;而非歐姆材料則是指電壓與電流之間存在著非線性關係,教科書最常舉的例子是半導體與二極體。其次,大多數金屬導體的電阻值會隨溫度的升高而增加,絕緣體與半導體則相反。這個現象背後的原理,與原子、分子的結構有關。大多數的學生也都能理解,以金屬為例,溫度升高時,原子的震動較為劇烈,電子在流經導體的過程中,與原子發生碰撞的機率增加,使得電子的流速(電流)減小,亦即電阻增大。

然而,在我們傳統的教學(或考試)方式中,上述的這兩個現象,似乎是獨立的兩件事。因此,在試著回答了這位「電工學徒」學生所帶來的問題之後,啟發了我改從實驗的角度,來介紹電阻與歐姆定律,並嘗試連結上述那兩件獨立無關的現象。

首先,我直接以三用電表來介紹電阻:以電路板上常見的定值電阻元件為例,介紹色環的意義,並讓學生直接從三用電表做測量,再與色環所標示的數值做比較。

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圖三:定值電阻之電壓與電流的實驗測量值:電壓與電流大小成正比。

接下來是透過「電壓與電流成正比」的簡單實驗(圖二),我特意挑了一個30Ω的定值,讓學生以圖二的方式連接電路,並做測量,自行得出「電流與電壓成正比」的結論,結果如圖三所示。紐西蘭的高中學生對於物理量之間的「正比」關係,算是相當熟悉的,學生從Year 11開始便有很好的訓練(參見前文:紐西蘭物理實驗的評量方式:以虎克定律為例),因此根據數據,繪製出電壓與電流的函數關係圖,並由「斜率」而得出電阻值;這對他們而言並不困難,而且也能充分體會數據背後的物理意涵。在學生以數據繪圖之前,我有稍加提醒:雖然電壓是操縱變因,電流是應變變因,但是,我們在此特意以電壓為縱軸、電流為橫軸來繪圖,如此一來,根據歐姆定律,函數圖中的斜率即等於電阻大小(註)。