點解梯形嘅面積係「上底加下底乘高除二」?

點解梯形嘅面積係「上底加下底乘高除二」?
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點解梯形面積公式係「上底加下底乘高除二」?呢個問題你應該識答,但再問落去,就需要知道「面積」嘅一啲性質先答到。

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文︰這個 PhD 只是我的負累

「點解梯形嘅面積係上底加下底乘高除二?」「唔好問點解,總之背咗佢啦!」

呢排睇電視,久唔久都會睇到呢個廣告,阿媽叫個女死背公式就梗係唔啱啦。學數學著重理解,如果不求甚解,學數學靠死背,考完試就唔記得哂,不如唔好學!之但係話說回頭,梯形嘅面積點解係「上底加下底乘高除二」呢?

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一個梯形,當中BC係上底,,AD係下底,高就係由B拉落去果條垂直線。

你可能會話,好容易啫!將兩個一樣嘅梯形,其中一個旋轉180度,篏埋佢就係一個平行四邊形,即係咁︰

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紅色梯形CDFG係原本黑色果個轉180度而嚟,CD係兩個梯形既共同邊。至於點解ABGF係一個平行四邊形? 請自己諗下。

而平行四邊形嘅面積呢,就係「底乘高」。呢個平行四邊形嘅底係個梯形嘅上底加下底,高就同梯形一樣,即係︰

平行四邊形面積=(上底+下底)×高

咁我地用咗兩個一樣嘅梯形,所以將平行四邊形個面積除二,就係梯形嘅面積,亦即係「上底加下底乘高除二」喇!係咪好簡單呢!

頭先講過,學數學就唔可以不求甚解,咁個細路女呢個時候就實會追問︰「咁點解平行四邊形嘅面積係底乘高呢?」呢個都唔難答。將一個平行四邊形沿高線切開,再移一移位,就會得到一個長方形︰

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長方形嘅面積就係長乘闊,而呢個長方形嘅長係平行四邊形嘅底,長方形嘅闊就係平行四邊形嘅高,透過剪貼移位係唔影響面積嘅,所以長方形面積同平行四邊形面積一樣,亦即係話平行四邊形嘅面積係底乘高。

「咁點解長方形嘅面積係長乘闊呢?」

作為一個有求真精神嘅細路,問完一樣就梗係問下一樣,不停咁追問到盤古初開都唔肯罷休架啦!而當你想答佢「好容易啫!」 嘅時候,你可能會發現呢個問題同上面果兩個唔同level,最起碼小學應該無教你點證呢件事。

你可能會記得小學教過你數格仔,個長方形佔據幾多個格仔面積就係幾多,之但係個細路又會問你點解數格仔係work嘅,沒完沒了,呢個唔係辦法。咁點解長方形嘅面積係長乘闊呢?

要解答呢個問題,我地就要問一個更加基本嘅問題︰「乜嘢係面積?」

呢個問題非常之深,深到其實我都唔係好識答[注1]。不過好彩嘅係,我地唔需要完全識答呢個問題,而只需要利用「面積」 呢樣嘢嘅一啲性質。呢啲性質其實我地係上面講梯形同平行四邊形面積嘅時候已經不知不覺咁用過,等我地列番出黎︰

  1. 任何「佔空間」 [注2]嘅圖形,面積都應該係正數。而乜嘢都無嘅話,面積係零。換言之,任何圖形嘅面積都應該係非負數。(但可以是無限大)
  2. 對一個圖形進行平移(translation),旋轉(rotation)或反轉(reflection)[注3],其面積不變。
  3. 如果將一個圖形分割成兩個(或有限多個[注4])不重疊的圖形,則該圖形的面積是其分割成嘅各個圖形的面積之和。

呢幾個性質係無得證嘅,大家可以當佢地係關於面積嘅公理/公設,總之呢幾個性質係非常直觀,而你覺得佢應該啱咁啦。咁我地而家對面積有個概括嘅理解喇,所以可以返番去原本個問題︰「咁點解長方形嘅面積係長乘闊呢?」(呢個問題好重要,所以問咗三次。)

首先,一個長方形係由佢嘅長同闊唯一確定[注5],所以長方形面積應該只與佢嘅長和闊有關,長同埋闊一樣嘅長方形,面積就相等。利用數學嘅寫法,我地話長方形嘅面積 A 係佢嘅長(記為 x)同埋闊(記為 y)嘅函數,即係︰

長方形面積=A(x, y)

幻想一下我地將個長方形從正中間切開,分成兩等份︰

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將個長方形分成兩等份,嗰堆x, y下文會提及。

呢兩個等份嘅長同闊係一樣嘅,所以面積相同,而佢地嘅面積加埋就等於返原本大長方形嘅面積。設每個細長方形嘅面積係 x, 闊就係 y,咁個大長方形嘅長就係2x,闊就依然係y。所以︰

A(2x, y) = 2A(x, y)

同樣道理,將個長方形分成n等份,可得︰

A(nx, y) = nA(x, y)

換句話說,長方形的面積跟它的長成正比[注6]。同樣道理(不過從另一邊切開),長方形的面積亦跟佢嘅闊成正比,即係話︰

A(x, my) = mA(x, y)

將以上兩條式夾埋可得︰

A(x, y) = x·y·A(1, 1)

即係長方形嘅面積係長乘闊,再乘一個邊長為1嘅正方形之面積。呢個就係點解數格仔係work嘅原因。為咗方便[注7],我地定義呢個邊長為1嘅正方形嘅面積為1,即 A(1, 1) =1,咁長方形嘅面積就係長乘闊喇!

搞咗咁多嘢,你以為個細路會好滿意定喇?梗係唔係!個細路應該一早就跟唔到,以後都唔敢再亂問你數學問題,耳根清淨咪幾好!

注︰

  1. 數學上搞清楚點樣量度長度(或高維的面積/體積)嘅學問叫測度理論(measure theory),係分析學(analysis)嘅基礎,而且成個概率論(probability theory) 都係建基於呢樣嘢之上,你去貢獻馬會都要多得佢。有興趣嘅可以Google下係乜嘢黎,不過你要有心理準備,呢樣嘢係幾難嘅。
  2. 我唔打算定義乜嘢叫「佔空間」,直觀你覺得係佔空間就係架喇。總之佢包住啲嘢咁啦。
  3. 幾何學上叫呢堆嘢做剛體運動(rigid motion),即係做完呢堆嘢,個圖形都唔會變咗形或者放大縮細咁。
  4. 測度理論入面一般要求對可數無限多(countably infinite)個分割都成立,呢度唔駛理啲咁麻煩嘅嘢。
  5. 至於一個長方形入面邊條係長邊條係闊,就唔係咁確定喇,總之係果兩條邊啦。反正結果對長同埋闊係對稱嘅,邊條係長邊條係闊,對我地黎講無所謂,只係一個名黎。
  6. 你可能會投訴,咁分唔到整數咁多份點算呢? 呢個係一個好問題,如果長同埋闊都係分數,咁都唔難搞,只要將個基礎單位整細啲就得,例如邊長3/2就將佢分成 3 份,同時將個1×1嘅正方形分半,就得到一個共同嘅基礎單位,以上嘅證明唔難引伸到呢個case。不過,如果邊長唔係分數(我鍾意佢邊長係π你吹咩?)就難搞得多。呢個時候,我地需要用到分析學入面嘅極限(limit)同埋連續性(continuity),仲有實數嘅一啲性質。呢啲又難又麻煩嘅嘢我就梗係唔做啦,趕客咩!
  7. 你唔鍾意嘅,亦可以定義佢做其他數字(但一定要係正數),咁只不過係換咗個長度單位,本質上無分別都係長乘闊。事實上我地日常生活中成日都咁做,例如你買樓就用平方呎,一般度嘢又用平方米,乘返個比例就得,轉黎轉去都無問題。

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責任編輯︰鄭家榆
核稿編輯︰王陽翎