小學算術課上,我鼓勵學生要求「問一個更簡單的問題」

小學算術課上,我鼓勵學生要求「問一個更簡單的問題」
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我們想讓你知道的是

即使兩個觀念相互不發生影響,甚至教學的順序也無關緊要,也還是應該分開來教學。個別教導每個層次是很重要的,應該分而克之,換句話說,「把原則分解成若干部分」是良好教學的不二法門。

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文︰阿哈羅尼(Ron Aharoni)

在那之前,小朋友把生活實例改寫成算式都沒有發生困難,但是這一次卻是例外,教室裡充斥了迷糊的氣氛。我試著用直接的方式問︰「約瑟有五枝鉛筆,唐娜比他多四枝鉛筆,那麼唐娜總共有幾枝鉛筆?」但是情況並沒有改善,大部分小朋友都跟不上。

至此我警覺到我跨越了層次,而且事實上還跳過不只一層。學生除了覺得兩個元素間未知關係的概念很困難,也對比自己多四或大四這種概念不熟悉。一年級的教師應該相當清楚,這不是孩童日常生活中會碰到的概念。大多數孩童熟悉「大於」,但不必然瞭解「多四」的意義。

除了重新開始別無他法,我在黑板上畫一個大圓圈以及一個正方形,要小朋友分別在圓圈與正方形內部,各畫出相同數目的三角形。然後請他們在圓圈裡多加一個三角形,問他們哪個裡面包含較多的三角形。接著我再問多了多少,這節課就在此告一段落。

有了這次經驗,我來到另外一班。這次我變聰明了,從頭開始循序漸進。我請兩位小朋友到黑板前,每人給五枝蠟筆。我問大家,哪位同學有較多的蠟筆,大家回說兩人有相同數目的蠟筆。我再給一位小朋友一枝蠟筆,然後問︰現在誰比較多?多出多少?另外一位小朋友少了多少?我再給第一位小朋友一枝蠟筆,同時重複以上的問題。我繼續給第一位小朋友更多蠟筆,每一次都問,他比另外一位小朋友多幾枝蠟筆,而另外一位小朋友少了幾枝蠟筆。之後,我給第二位小朋友更多蠟筆,一枝接一枝,直到兩人的蠟筆數目相同為止。下一個階段則反方向進行—從一位小朋友手中把蠟筆一枝一枝拿走,每一步都問誰比較多,多出多少,在整個過程裡,我也不厭其煩問誰比較少,少了多少。

我接著在黑板上畫出台階,並且加以編號。我畫出兩位小朋友,一位站在九號台階,一位站在五號台階。我問全班同學,站在低處的小朋友要爬上多少台階才能遇到高處的小朋友,以及站在高處的小朋友要走下多少台階才能遇到低處的小朋友。我問︰「第一位小朋友比第二位小朋友高出多少台階?」以及「第二位小朋友比第一位小朋友低了多少台階?」我們接著再做了幾個類似的例子。

《小學算數教什麼》P_45配圖
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現在我們把抽象再推進一步,把台階換成年齡的落差。我問一位小朋友他比弟弟大幾歲?他說大三歲。那麼弟弟比他小幾歲?自此之後,我們就玩得興高采烈了。我問︰當弟弟20歲時他幾歲?當他100歲時弟弟幾歲?當他1,000歲呢?有些小朋友能跟著我討論到大數——幾乎在一年級每一班裡,都有學生能計算百位數,甚至像1000-3這種複雜計算。當然,他們覺得活到100歲或1,000歲的想法很有趣。

《小學算數教什麼》P_46配圖
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我把這節課的最後階段拿來做一些實驗。我們土法製作算盤,用黏土做成珠子串在木籤上。(這比一般的珠子還好用,因為小朋友自己動手做,可以體會材料在手裡的感覺,而且黏土珠子在地板上滾動也不會發出噪音。)我把小朋友分成兩人一組,要求每一組小朋友的其中一位,在木籤上多串三顆珠子,這又成為樂趣的來源。我並沒有告訴他們,每位小朋友該串幾顆珠子,或者誰應該有較多的珠子,我只說出差數,就會驅使他們串出大的數目。例如,有一位小朋友串了10顆珠子,自信可以勝利,當他發現伙伴在算盤串上13顆珠子打敗了他,就在自己的算盤上再加上六顆珠子。

有一句為人熟知的教學法至理名言,提到一節課應該經歷三階段︰從具體出發,畫圖,最後走向抽象。在這種意義下,我們的這節課頗有代表性︰我們從具體(蠟筆)開始,進步到畫臺階,然後在討論兄弟間的年齡時,就不需要具體展現出數目了。最終,我們把學習到的概念主動落實在事物上(黏土珠子與木籤),一節課才算完結。

教學法講這麼多,那麼內容呢?在這節課裡小朋友獲取了什麼樣的概念結構?答案絕對不像初次乍見那麼簡單。首先,他們學會了關係的概念,像是數目間的「大於」或「小於」。進一步,他們理解我在第一堂課嘗試(但沒成功)傳達的訊息︰手上沒有具體的數,仍然能討論數之間的關係。在那節課快結束時,他們練習創造一種情境,使一位小朋友比伙伴多三顆珠子,而重點是不需要明確告訴每位小朋友應該有幾顆珠子。

除此之外,小朋友學習到一種關係可以從兩個方向來觀察,而不同角度看事情結論會不一樣︰如果一人多三顆,則另一人就少三顆。他們體會到當一個部分改變時,關係也就跟著改變了。(如果我多三顆,那你再加三顆或從我這裡拿走三顆,就跟我的一樣多。)

當然,他們也學會了「多出多少」的概念,那原本是這節課的教學目標。接著更學會了「多出多少」與加法的關係︰如果你在一個數目上加四,結果就是比原來的數目多四。

這節課傳達的另外一個想法是守恆律。「守恆」的意思是當別的東西發生變化,某件東西保持不變,例如︰當你旋轉一個三角形,它的位置發生變化,但是邊與邊之間的關係保持不變,三個內角的角度也都相同。

《小學算數教什麼》P_48配圖1
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這節課教的是差數的守恆︰兩兄弟的年齡差永遠一樣。如果你七歲,弟弟三歲,你們的年齡差是三,23年之後,年齡差仍會保持不變︰27比24大3。也就是說,如果你把兩數增加相同數量,它們之間的落差保持常數。這個定律會伴隨小朋友直到畢業。例如,小朋友展開分數時還會遇到它,也就是用同一數乘以分母和分子,則分母和分子兩數的比率不變。

《小學算數教什麼》P_48配圖2
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這兩堂課中的第一堂總是提醒我︰幼年時建立的思維結構相當難捉摸;我們很容易以為,它們早已經存在孩童心中,卻又很容易讓人忘記,即使是最初等的結構,也需要在某個點上花氣力才能建立。

然而第二堂課才真正讓我受益良多,我從中學習到的會在本書一再出現。我體認到,依照恰當的順序建立概念,並且通過具體操作來教學,將非常受用。「多出多少」的概念是通過具體操作建立的,認真思考每一個面向,連看來最簡單的也不放過,即使是最明顯的原則,也堅持要明確表述出來。通過這些步驟,我們達到的遠超過開始上課時所敢想像的地步。

問我一個更簡單的問題

我還是新手家長時,喜歡問我的小孩數學問題,我現在比較少這麼做了——問問題不是親子關係的自然模式。不過有一天我問小女兒一個問題,她倒教了我很重要的一課,她說︰「問我一個更簡單的問題。」她並不是要逃避問題,而是要求我提供起始步驟;如果問題太難,通常意味前面少了某個步驟。

我在班上也使用這個說法。當同學感覺某個問題太難時,我就會說出我女兒的故事,鼓勵他們做同樣的事︰每當他們無法解決難題時,應該要求我給一個比較簡單的問題。

我的目的是要讓他們警覺,他們的知識裡可能漏掉某個層次,如此做不僅消解了挫折感,同時使他們察覺自己的思考歷程,那也是非常重要的自我學習目標。

一步一步來

有一天我觀察一群程度比較弱的學生,他們有些甚至計算8+6都感到困難。他們正在學習小時與分鐘的轉換,老師問他們下面這個問題︰有三場會議,每場耗時50分鐘,那麼三場會議總共耗費幾小時又幾分鐘?我知道如果讓學生自由討論,接下來會發生什麼狀況︰有一兩位同學會得到正確答案,其他的就落在後面。於是我請老師准許我插手,我告訴同學做數學要緩慢,再告訴他們我女兒的故事(我女兒跟他們年齡相仿),以及她「問我一個更簡單的問題」的請求。

我說我會一步一步的問問題,保證每個問題都很簡單。於是我問一位先前不肯回答問題的女生,60分鐘是幾小時。這個她能回答——一小時。然後我問61分鐘是有幾小時又幾分鐘,那也不算困難。之後,我接著問62分鐘、63分鐘,不曾跳過任何一階段。這樣做很緩慢,但是所有學生都跟得上,而且都獲得成就感。

當我們達到90分鐘時,我就大膽跳了一次,我問100分鐘會怎樣?那110分鐘呢?接著再緩慢下來︰111、112直到119分鐘——一小時又59分鐘。然後我們來到120分鐘,正如我的預期,他們正確說出是1小時又60分鐘。我又問60分鐘是什麼啊?於是他們得到了所需的答案︰120分鐘是兩小時。此後到最初問題裡出現的數150分鐘為止,一切都變得簡單,並且所有同學都知道答案了。

如果每一步都是一小步,人人的步伐都能向前邁進。我們只需要知道如何把問題分解成小的步驟,而且不要倉促冒進。長時間下來,使用小步驟前進會節省時間而不是浪費時間。

分而克之

與跨越層次同樣常發生的錯誤是同時教兩個(或更多個)觀念。即使兩個觀念相互不發生影響,甚至教學的順序也無關緊要,也還是應該分開來教學。個別教導每個層次是很重要的,應該分而克之,換句話說,「把原則分解成若干部分」是良好教學的不二法門。

在很多情況裡,把問題分劃出層次就完成了主要工作——小朋友自己會完成其餘步驟。例如,小朋友覺得計算2×70很困難時,有時候只需要問他2×7是多少,他就會自己填補上漏掉的訊息;在梯子上多加一條橫階,就足以幫他繼續爬上去了。這讓我想起以前從老師那裡聽來的一句話︰「數學證明就是將顯然的論證步驟,用不顯然的方式組合起來。」真正困難的地方在於,如何把問題分解成相互關連的層次。

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書籍介紹

本文摘錄自《小學算術教什麼,怎麼教︰家長須知,也是教師指南》,天下文化出版
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作者︰阿哈羅尼(Ron Aharoni)
譯者︰李國偉

這本書是你從新學好小學算術的起點,
也是你幫助孩子認識數學之美的契機。

小學算術是人生最重要的數學課,你可以不懂微積分,但你幾乎每天都會用到小學等級的算術,然而,唯有了解算術的人,才能真正帶領小朋友,領略數學之美。

大學數學教授阿哈羅尼為了扭轉小學數學教學,親自到小學任教,他這才發現,小學數學可不簡單!他在教小學生數學時,竟學到了很多的數學,他這才明白,原來要教好小學生數學,重點不在於教學技巧,而是深入熟悉數學細微的觀念,這樣才能一步步帶領小朋友進入數學世界。

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小學算數教什麼怎麼教
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責任編輯︰潘柏翰
核稿編輯︰翁世航