小學算術課上，我鼓勵學生要求「問一個更簡單的問題」

我們想讓你知道的是

即使兩個觀念相互不發生影響，甚至教學的順序也無關緊要，也還是應該分開來教學。個別教導每個層次是很重要的，應該分而克之，換句話說，「把原則分解成若干部分」是良好教學的不二法門。

文︰阿哈羅尼（Ron Aharoni）

在那之前，小朋友把生活實例改寫成算式都沒有發生困難，但是這一次卻是例外，教室裡充斥了迷糊的氣氛。我試著用直接的方式問︰「約瑟有五枝鉛筆，唐娜比他多四枝鉛筆，那麼唐娜總共有幾枝鉛筆？」但是情況並沒有改善，大部分小朋友都跟不上。

至此我警覺到我跨越了層次，而且事實上還跳過不只一層。學生除了覺得兩個元素間未知關係的概念很困難，也對比自己多四或大四這種概念不熟悉。一年級的教師應該相當清楚，這不是孩童日常生活中會碰到的概念。大多數孩童熟悉「大於」，但不必然瞭解「多四」的意義。

除了重新開始別無他法，我在黑板上畫一個大圓圈以及一個正方形，要小朋友分別在圓圈與正方形內部，各畫出相同數目的三角形。然後請他們在圓圈裡多加一個三角形，問他們哪個裡面包含較多的三角形。接著我再問多了多少，這節課就在此告一段落。

有了這次經驗，我來到另外一班。這次我變聰明了，從頭開始循序漸進。我請兩位小朋友到黑板前，每人給五枝蠟筆。我問大家，哪位同學有較多的蠟筆，大家回說兩人有相同數目的蠟筆。我再給一位小朋友一枝蠟筆，然後問︰現在誰比較多？多出多少？另外一位小朋友少了多少？我再給第一位小朋友一枝蠟筆，同時重複以上的問題。我繼續給第一位小朋友更多蠟筆，每一次都問，他比另外一位小朋友多幾枝蠟筆，而另外一位小朋友少了幾枝蠟筆。之後，我給第二位小朋友更多蠟筆，一枝接一枝，直到兩人的蠟筆數目相同為止。下一個階段則反方向進行—從一位小朋友手中把蠟筆一枝一枝拿走，每一步都問誰比較多，多出多少，在整個過程裡，我也不厭其煩問誰比較少，少了多少。

我接著在黑板上畫出台階，並且加以編號。我畫出兩位小朋友，一位站在九號台階，一位站在五號台階。我問全班同學，站在低處的小朋友要爬上多少台階才能遇到高處的小朋友，以及站在高處的小朋友要走下多少台階才能遇到低處的小朋友。我問︰「第一位小朋友比第二位小朋友高出多少台階？」以及「第二位小朋友比第一位小朋友低了多少台階？」我們接著再做了幾個類似的例子。

現在我們把抽象再推進一步，把台階換成年齡的落差。我問一位小朋友他比弟弟大幾歲？他說大三歲。那麼弟弟比他小幾歲？自此之後，我們就玩得興高采烈了。我問︰當弟弟20歲時他幾歲？當他100歲時弟弟幾歲？當他1,000歲呢？有些小朋友能跟著我討論到大數——幾乎在一年級每一班裡，都有學生能計算百位數，甚至像1000－3這種複雜計算。當然，他們覺得活到100歲或1,000歲的想法很有趣。

我把這節課的最後階段拿來做一些實驗。我們土法製作算盤，用黏土做成珠子串在木籤上。（這比一般的珠子還好用，因為小朋友自己動手做，可以體會材料在手裡的感覺，而且黏土珠子在地板上滾動也不會發出噪音。）我把小朋友分成兩人一組，要求每一組小朋友的其中一位，在木籤上多串三顆珠子，這又成為樂趣的來源。我並沒有告訴他們，每位小朋友該串幾顆珠子，或者誰應該有較多的珠子，我只說出差數，就會驅使他們串出大的數目。例如，有一位小朋友串了10顆珠子，自信可以勝利，當他發現伙伴在算盤串上13顆珠子打敗了他，就在自己的算盤上再加上六顆珠子。

有一句為人熟知的教學法至理名言，提到一節課應該經歷三階段︰從具體出發，畫圖，最後走向抽象。在這種意義下，我們的這節課頗有代表性︰我們從具體（蠟筆）開始，進步到畫臺階，然後在討論兄弟間的年齡時，就不需要具體展現出數目了。最終，我們把學習到的概念主動落實在事物上（黏土珠子與木籤），一節課才算完結。

教學法講這麼多，那麼內容呢？在這節課裡小朋友獲取了什麼樣的概念結構？答案絕對不像初次乍見那麼簡單。首先，他們學會了關係的概念，像是數目間的「大於」或「小於」。進一步，他們理解我在第一堂課嘗試（但沒成功）傳達的訊息︰手上沒有具體的數，仍然能討論數之間的關係。在那節課快結束時，他們練習創造一種情境，使一位小朋友比伙伴多三顆珠子，而重點是不需要明確告訴每位小朋友應該有幾顆珠子。

除此之外，小朋友學習到一種關係可以從兩個方向來觀察，而不同角度看事情結論會不一樣︰如果一人多三顆，則另一人就少三顆。他們體會到當一個部分改變時，關係也就跟著改變了。（如果我多三顆，那你再加三顆或從我這裡拿走三顆，就跟我的一樣多。）

當然，他們也學會了「多出多少」的概念，那原本是這節課的教學目標。接著更學會了「多出多少」與加法的關係︰如果你在一個數目上加四，結果就是比原來的數目多四。

這節課傳達的另外一個想法是守恆律。「守恆」的意思是當別的東西發生變化，某件東西保持不變，例如︰當你旋轉一個三角形，它的位置發生變化，但是邊與邊之間的關係保持不變，三個內角的角度也都相同。

這節課教的是差數的守恆︰兩兄弟的年齡差永遠一樣。如果你七歲，弟弟三歲，你們的年齡差是三，23年之後，年齡差仍會保持不變︰27比24大3。也就是說，如果你把兩數增加相同數量，它們之間的落差保持常數。這個定律會伴隨小朋友直到畢業。例如，小朋友展開分數時還會遇到它，也就是用同一數乘以分母和分子，則分母和分子兩數的比率不變。