世界盃的數學：決賽週需要多少場比賽？

又到四年一度的世界盃大賽，相信大家都看得興起，為了看球賽而徹夜未眠的大有人在。但原來世界盃對戰都牽涉到一些有趣的數學原理。大家知不知道今屆世界盃共有多少場對賽？

為了討論這個問題，我們可以先談一下循環賽，再談淘汰賽的計法。

世界盃的32強採用循環賽的賽制，把球隊分成8組，每組4隊，每一隊球隊都需要與小組中的所有球隊對賽。我們不難數到每組需要對戰6場，但如果每組的球隊更多呢？那又該如何計算？

先假設有n隊球隊進行循環賽，它們都必須與自己之外的球隊進行比賽，共有n-1隊，大家可能直覺上就覺得共需進行n×(n−1)場比賽。但要留意，這樣計算的話有一半賽事是重複了的，因為「西班牙對葡萄牙」與「葡萄牙對西班牙」，或者「英格蘭對比利時」與「比利時對英格蘭」是同一場賽事，如果用n×(n−1)的方法計算就會多計了一倍。

正確的比賽次數應該是n×(n−1)÷2。所以如果每組4隊，對賽次數是4×3÷2=6。如果全部32隊都用循環賽方法對戰，比賽數量就是32×31÷2=496。

Photo Credit: Gonzalo Fuentes / REUTERS / 達志影像

如果大家熟悉排列組合的話，對賽次數等如從n樣物件中取出2樣物件的組合（combination）數量，即_nC₂ = n×(n−1)÷2。

接著我們再討論一下淘汰賽數量的計算方法。

如果有2^k支球隊作淘汰賽，大家很自然會想：首輪賽事共有2^k-1場，次輪賽事共有2^k-2場... 四強賽事有2場，決賽共有1場。所以賽事次數等如2^k-1 + 2^k-2 + ... + 2 + 1 = 2^k - 1。 但如果球隊的數量不是以2^k的形式呢？那又該如何計算？我們需不需要慢慢考慮各種不同的對賽方法的數量呢？

其實是不用的，無論球隊數目如何，都可以用一個非常聰明巧妙的方法計算對賽次數︰假如有n隊球隊對賽，每場淘汰一隊，要選出冠軍，就要淘汰n - 1隊，那麼自然就需要對戰n−1場。

總的來說，今屆世界盃共有循環賽48場（8個小組、每個小組需4×3÷2=6木場，得出6×8=48）、淘汰賽15場（16隊球隊中淘汰15隊）及季軍賽一場，共64場。

本文獲授權轉載，原文見史丹福狂想曲。

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責任編輯：tnlhk
核稿編輯︰王陽翎